Номер 10.12, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте её график:

а) $y = \begin{cases} 2x, \text{ если } x \le 0 \\ 3x, \text{ если } x > 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -5x - 3, \text{ если } x \le -1 \\ -1 - 3x, \text{ если } x > -1 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} -x, \text{ если } x < 0 \\ 3x, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 2x + 1, \text{ если } x \le 2 \\ \frac{1}{2}x + 4, \text{ если } x \ge 2 \end{cases}$

а)

Дана функция $ y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \le 0 \\ 3x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $.

Эта функция является строго возрастающей на всей области определения, поэтому для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = 2x$ при $x \le 0$.
Область значений для этой ветви: поскольку $x \le 0$, то $y = 2x \le 0$. Таким образом, $y \in (-\infty, 0]$.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{2}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию для этой ветви: $y = \frac{1}{2}x$. Область определения этой ветви соответствует области значений исходной ветви, т.е. $x \le 0$.

2. Рассмотрим ветвь $y = 3x$ при $x > 0$.
Область значений для этой ветви: поскольку $x > 0$, то $y = 3x > 0$. Таким образом, $y \in (0, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{3}$.
Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию для этой ветви: $y = \frac{1}{3}x$. Область определения этой ветви: $x > 0$.

Объединяя обе ветви, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x > 0 \end{cases} $.

б)

Дана функция $ y = \begin{cases} -5x - 3, & \text{если } x \le -1 \\ -1 - 3x, & \text{если } x > -1 \end{cases} $.

Обе ветви функции являются убывающими (коэффициенты при $x$ отрицательны: -5 и -3). В точке $x=-1$ значения совпадают: $y(-1)=-5(-1)-3=2$ и $y \to -1-3(-1)=2$ при $x \to -1^+$. Следовательно, функция является непрерывной и строго убывающей на всей области определения, а значит, для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = -5x - 3$ при $x \le -1$.
Область значений: так как функция убывающая, $y \ge y(-1) = 2$. Таким образом, $y \in [2, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $y+3 = -5x \implies x = \frac{y+3}{-5} = -\frac{1}{5}y - \frac{3}{5}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}$ при $x \ge 2$.

2. Рассмотрим ветвь $y = -1 - 3x$ при $x > -1$.
Область значений: так как функция убывающая, $y < \lim_{x\to-1^+} (-1-3x) = 2$. Таким образом, $y \in (-\infty, 2)$.
Выразим $x$ через $y$: $y+1 = -3x \implies x = \frac{y+1}{-3} = -\frac{1}{3}y - \frac{1}{3}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$ при $x < 2$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}, & \text{если } x < 2 \\ -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}, & \text{если } x < 2 \\ -\frac{1}{5}x - \frac{3}{5}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $.

в)

Дана функция $ y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ 3x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases} $.

Проверим функцию на монотонность. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y=-x$ убывает. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=3x$ возрастает. Поскольку на всей области определения функция не является монотонной, она не является взаимно-однозначной (обратимой). Например, значению $y=3$ соответствуют два различных значения аргумента: $x_1=-3$ (из первой ветви) и $x_2=1$ (из второй ветви). Следовательно, обратной функции для данной функции не существует.

Однако можно найти обратное соотношение (или многозначную функцию), поменяв местами переменные $x$ и $y$ в определении исходной функции.

1. Для ветви $y = -x$ при $x < 0$. Область значений $y \in (0, +\infty)$. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = -y$ при $y < 0$. Выражая $y$, получаем $y = -x$. Условие $y < 0$ превращается в $-x < 0$, то есть $x > 0$.

2. Для ветви $y = 3x$ при $x \ge 0$. Область значений $y \in [0, +\infty)$. Меняем $x$ и $y$ местами: $x = 3y$ при $y \ge 0$. Выражая $y$, получаем $y = \frac{1}{3}x$. Условие $y \ge 0$ превращается в $\frac{x}{3} \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Таким образом, обратное соотношение для $x \ge 0$ задается двумя формулами: $y = \frac{1}{3}x$ и (для $x>0$) $y=-x$. Это не является функцией, так как одному значению $x$ (кроме $x=0$) соответствуют два значения $y$.

График обратного соотношения симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратной функции не существует, так как исходная функция не является монотонной. Обратное соотношение $g$ определяется для $x \ge 0$ и имеет вид $g(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

г)

Дана функция $ y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le 2 \\ \frac{1}{2}x + 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} $.

Обе ветви функции являются возрастающими (коэффициенты при $x$ положительны: 2 и 1/2). В точке $x=2$ значения совпадают: $y(2)=2(2)+1=5$ и $y(2)=\frac{1}{2}(2)+4=5$. Следовательно, функция является непрерывной и строго возрастающей на всей области определения, а значит, для нее существует обратная функция.

1. Рассмотрим ветвь $y = 2x + 1$ при $x \le 2$.
Область значений: так как функция возрастающая, $y \le y(2) = 5$. Таким образом, $y \in (-\infty, 5]$.
Выразим $x$ через $y$: $y-1 = 2x \implies x = \frac{y-1}{2} = \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}$.
Обратная функция для этой ветви: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ при $x \le 5$.

2. Рассмотрим ветвь $y = \frac{1}{2}x + 4$ при $x \ge 2$.
Область значений: так как функция возрастающая, $y \ge y(2) = 5$. Таким образом, $y \in [5, +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$: $y-4 = \frac{1}{2}x \implies x = 2(y-4) = 2y-8$.
Обратная функция для этой ветви: $y = 2x - 8$ при $x \ge 5$.

Объединяя результаты, получаем обратную функцию:

$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}, & \text{если } x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x \ge 5 \end{cases} $

График обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}, & \text{если } x \le 5 \\ 2x - 8, & \text{если } x \ge 5 \end{cases} $.