Номер 10.6, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.6. Найдите множество значений каждой из взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$, если указаны их области определения:

а) $D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = [-2; +\infty)$

б) $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$

в) $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$

г) $D(f) = \{-1; 2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$

Для двух взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ область определения одной функции является множеством значений другой, и наоборот. Если $D(f)$ и $E(f)$ — это область определения и множество значений функции $f$ соответственно, то для взаимно обратных функций справедливы следующие равенства: $E(f) = D(g)$ и $E(g) = D(f)$.

а) Дано: $D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = [-2; +\infty)$.
По свойству взаимно обратных функций, множество значений функции $f(x)$ совпадает с областью определения функции $g(x)$.
$E(f) = D(g) = [-2; +\infty)$.
Аналогично, множество значений функции $g(x)$ совпадает с областью определения функции $f(x)$.
$E(g) = D(f) = \mathbb{R}$.
Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$, $E(g) = \mathbb{R}$.

б) Дано: $D(f) = [-3; 4]$, $D(g) = [4; 11]$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = [4; 11]$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = [-3; 4]$.
Ответ: $E(f) = [4; 11]$, $E(g) = [-3; 4]$.

в) Дано: $D(f) = (0; +\infty)$, $D(g) = (-\infty; 7)$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = (-\infty; 7)$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = (0; +\infty)$.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 7)$, $E(g) = (0; +\infty)$.

г) Дано: $D(f) = \{-1; 2; 4\}$, $D(g) = \{-2; 78; 123\}$.
Множество значений $f(x)$ равно области определения $g(x)$:
$E(f) = D(g) = \{-2; 78; 123\}$.
Множество значений $g(x)$ равно области определения $f(x)$:
$E(g) = D(f) = \{-1; 2; 4\}$.
Ответ: $E(f) = \{-2; 78; 123\}$, $E(g) = \{-1; 2; 4\}$.