Номер 10.8, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций:

10.8. а) $y = 3x$;

б) $y = 5x + 2$;

в) $y = x - 7$;

г) $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции $y = f(x)$, нужно выполнить следующие шаги:

1. В уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$.
2. Решить полученное уравнение относительно $y$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

а) $y = 3x$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = 3x$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 3y$.

Выражаем $y$: $y = \frac{x}{3}$.

Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{3}x$.

2. Построим графики. Обе функции являются линейными, их графики - прямые, проходящие через начало координат (0,0).

Для $y=3x$ возьмем точку (1, 3).

Для $y=\frac{1}{3}x$ возьмем точку (3, 1).

Нанесем на чертеж исходную функцию (синий цвет), обратную функцию (красный цвет) и ось симметрии $y=x$ (зеленый пунктир).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{3}x$. Графики построены на чертеже.

б) $y = 5x + 2$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = 5x + 2$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = 5y + 2$.

Выражаем $y$: $x - 2 = 5y \implies y = \frac{x-2}{5}$.

Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$.

2. Построим графики. Для $y=5x+2$ возьмем точки (0, 2) и (-1, -3). Для $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$ возьмем точки (2, 0) и (-3, -1).

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{5}x - \frac{2}{5}$. Графики построены на чертеже.

в) $y = x - 7$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = x - 7$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = y - 7$.

Выражаем $y$: $y = x + 7$.

Итак, обратная функция: $y = x + 7$.

2. Построим графики. Для $y=x-7$ возьмем точки (0, -7) и (7, 0). Для $y=x+7$ возьмем точки (0, 7) и (-7, 0). Графики этих функций и прямой $y=x$ параллельны друг другу.

Ответ: обратная функция $y = x + 7$. Графики построены на чертеже.

г) $y = \frac{1}{3}x - 4$

1. Найдем обратную функцию. Исходная функция: $y = \frac{1}{3}x - 4$.

Меняем местами $x$ и $y$: $x = \frac{1}{3}y - 4$.

Выражаем $y$: $x + 4 = \frac{1}{3}y \implies y = 3(x+4) = 3x + 12$.

Итак, обратная функция: $y = 3x + 12$.

2. Построим графики. Для $y=\frac{1}{3}x - 4$ возьмем точки (0, -4) и (3, -3). Для $y = 3x+12$ возьмем точки (-4, 0) и (-3, 3). Точка пересечения графиков (-6, -6) лежит на прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = 3x + 12$. Графики построены на чертеже.