Номер 10.15, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) линейная;

б) дробно-линейная;

в) вида $y = \sqrt{x + a}$;

г) вида $y = x^3 + a$?

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть обратимой, то есть взаимно-однозначной (биективной). Для функции, определенной на подмножестве действительных чисел, достаточным условием существования обратной функции является ее строгая монотонность (строгое возрастание или строгое убывание) на всей области определения.

а) линейная;

Линейная функция имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые константы. Чтобы определить, обязательно ли у нее есть обратная, нужно проверить ее на строгую монотонность для любых возможных значений $k$ и $b$.

1. Если коэффициент $k \neq 0$, то функция является строго монотонной. При $k > 0$ она строго возрастает, а при $k < 0$ — строго убывает. В обоих случаях функция взаимно-однозначна и имеет обратную.

2. Если коэффициент $k = 0$, функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция, график которой — прямая, параллельная оси абсцисс. Разным значениям аргумента $x$ (например, $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$) соответствует одно и то же значение функции $y=b$. Такая функция не является взаимно-однозначной, а значит, не имеет обратной.

Поскольку существует случай ($k = 0$), в котором линейная функция не имеет обратной, то не любая линейная функция обязательно имеет обратную.

Пример: функция $y = 5$ является линейной (здесь $k=0, b=5$), но не имеет обратной.

Ответ: нет, не обязательно.

б) дробно-линейная;

Дробно-линейная функция имеет общий вид $y = \frac{ax+b}{cx+d}$.

1. В общем случае, когда $c \neq 0$ и определитель $ad - bc \neq 0$, функция не является ни линейной, ни постоянной. Её производная $y' = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ имеет постоянный знак на всей области определения ($x \neq -d/c$), так как знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен. Это означает, что функция строго монотонна на каждом из интервалов своей области определения и является взаимно-однозначной. Следовательно, в этом случае обратная функция существует.

2. Рассмотрим вырожденный случай, когда $ad - bc = 0$. Если $c \neq 0$, то из этого условия следует, что $a/c = b/d$. Пусть это отношение равно $k$. Тогда $a=ck$ и $b=dk$. Подставив в исходную формулу, получим: $y = \frac{ckx+dk}{cx+d} = \frac{k(cx+d)}{cx+d} = k$ для всех $x$ из области определения. То есть, функция является постоянной. Как и в пункте а), постоянная функция не имеет обратной.

Так как существует вырожденный случай, в котором дробно-линейная функция не имеет обратной, то не любая дробно-линейная функция обязательно имеет обратную.

Пример: функция $y = \frac{2x+4}{x+2} = \frac{2(x+2)}{x+2} = 2$ (при $x \neq -2$). Эта функция является дробно-линейной ($a=2, b=4, c=1, d=2$, при этом $ad-bc = 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 0$), но она постоянна на своей области определения и не имеет обратной.

Ответ: нет, не обязательно.

в) вида $y = \sqrt{x} + a$;

Рассмотрим функцию $y = f(x) = \sqrt{x} + a$. Область определения этой функции — все неотрицательные числа, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

Чтобы проверить наличие обратной функции, исследуем ее на монотонность. Найдем производную:

$y' = (\sqrt{x} + a)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Для любого $x$ из области определения ($x > 0$) производная $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

Поскольку функция строго монотонна при любом значении параметра $a$, она всегда является взаимно-однозначной и, следовательно, всегда имеет обратную функцию.

Ответ: да, обязательно.

г) вида $y = x^3 + a$?

Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^3 + a$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$y' = (x^3 + a)' = 3x^2$.

Производная $y' = 3x^2 \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Она обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Функция, производная которой неотрицательна (или неположительна) и равна нулю лишь в изолированных точках, является строго монотонной. В данном случае функция строго возрастает на всей числовой оси.

Так как функция является строго монотонной при любом значении параметра $a$, она всегда взаимно-однозначна и всегда имеет обратную функцию.

Ответ: да, обязательно.