Номер 10.22, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.22. $y = x^2 - 4x + 18$:

а) на $\mathbf{R}$;

б) на $[2; +\infty)$;

в) на $(-\infty; 0];$

г) на $(-\infty; 3)$.

Для нахождения множества значений функции $y = x^2 - 4x + 18$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$, которая и является точкой минимума.

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Ордината вершины (наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = y(2) = 2^2 - 4(2) + 18 = 4 - 8 + 18 = 14$

Итак, вершина параболы находится в точке $(2; 14)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

а) на R;

Требуется найти множество значений функции на всей области определения (на множестве всех действительных чисел $\mathbf{R}$). Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции достигается в ее вершине и равно $y_{min} = 14$. Верхней границы у значений функции нет, так как при $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции — это все числа от 14, включая 14, до плюс бесконечности.

Ответ: $[14; +\infty)$.

б) на $[2; +\infty)$;

Данный промежуток $[2; +\infty)$ начинается в точке $x=2$, которая является абсциссой вершины параболы. На этом промежутке функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке функция принимает в его начальной точке $x=2$, и оно равно $y(2)=14$. Так как промежуток не ограничен справа, функция также не ограничена сверху. Множество значений совпадает с множеством значений на всей прямой $\mathbf{R}$.

Ответ: $[14; +\infty)$.

в) на $(-\infty; 0]$;

Промежуток $(-\infty; 0]$ полностью находится левее вершины параболы, абсцисса которой $x_v=2$. На всем промежутке $(-\infty; 2]$ функция монотонно убывает, значит, она убывает и на промежутке $(-\infty; 0]$. Наименьшее значение на этом отрезке будет достигаться на его правом конце, в точке $x=0$.

$y(0) = 0^2 - 4(0) + 18 = 18$.

Поскольку промежуток неограничен слева, при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции на данном промежутке начинается от $18$ и уходит в бесконечность.

Ответ: $[18; +\infty)$.

г) на $(-\infty; 3)$;

Данный промежуток $(-\infty; 3)$ содержит точку минимума функции $x_v=2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно ординате вершины, то есть $y_{min} = 14$. Поскольку промежуток уходит в минус бесконечность, функция не ограничена сверху (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Значение функции в правой граничной точке $x=3$ равно $y(3) = 3^2 - 4(3) + 18 = 9 - 12 + 18 = 15$. Но так как функция уже принимает все значения от 14 до бесконечности на части промежутка $(-\infty; 2]$, то множество значений на всем промежутке $(-\infty; 3)$ будет от минимума до плюс бесконечности.

Ответ: $[14; +\infty)$.