Номер 10.29, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.29. a) $f(x) = x^2 + 1$, $g(x) = \sqrt{x - 1}$;

б) $f(x) = 3 - 0.5x^2$, $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$;

в) $f(x) = x^2 - 2$, $g(x) = \sqrt{x + 2}$;

г) $f(x) = 8 - 2x^2$, $g(x) = -\sqrt{4 - 0.5x}$.

а) Даны функции $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = \sqrt{x - 1}$.

Чтобы определить, являются ли эти функции взаимно обратными, необходимо проверить, выполняются ли тождества $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ на соответствующих областях определения. Также важно согласовать области определения и множества значений функций.

Сначала найдем область определения и множество значений для каждой функции. Для функции $g(x) = \sqrt{x - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. Таким образом, область определения $D(g) = [1, +\infty)$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$, так как арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

Для функции $f(x) = x^2 + 1$ область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = [1, +\infty)$, поскольку $x^2 \ge 0$.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ не является монотонной на всей своей области определения, а значит, не является обратимой. Чтобы найти для неё обратную, необходимо сузить её область определения так, чтобы она стала монотонной. Для согласования с $g(x)$ (требуется $D(f) = E(g)$), мы должны рассмотреть $f(x)$ на промежутке $[0, +\infty)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом суженная область определения $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$ совпадает с $E(g)$, а множество значений $E(f) = [1, +\infty)$ совпадает с $D(g)$.

Проверим композиции функций на этих согласованных областях.

1. Найдем $f(g(x))$ для $x \in D(g) = [1, +\infty)$:
$f(g(x)) = f(\sqrt{x - 1}) = (\sqrt{x - 1})^2 + 1 = (x - 1) + 1 = x$.

2. Найдем $g(f(x))$ для $x \in D_{огр}(f) = [0, +\infty)$:
$g(f(x)) = g(x^2 + 1) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Поскольку мы рассматриваем $x \ge 0$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются, следовательно, функции являются взаимно обратными при указанном ограничении.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

б) Даны функции $f(x) = 3 - 0,5x^2$ и $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = \sqrt{6 - 2x}$ область определения: $6 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 6 \implies x \le 3$. $D(g) = (-\infty, 3]$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$.

Для $f(x) = 3 - 0,5x^2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Так как $-0,5x^2 \le 0$, множество значений $E(f) = (-\infty, 3]$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно убывает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(\sqrt{6 - 2x}) = 3 - 0,5(\sqrt{6 - 2x})^2 = 3 - 0,5(6 - 2x) = 3 - 3 + x = x$. Это верно для $x \in (-\infty, 3]$.

2. $g(f(x)) = g(3 - 0,5x^2) = \sqrt{6 - 2(3 - 0,5x^2)} = \sqrt{6 - 6 + x^2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in [0, +\infty)$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

в) Даны функции $f(x) = x^2 - 2$ и $g(x) = \sqrt{x + 2}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = \sqrt{x + 2}$ область определения: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. $D(g) = [-2, +\infty)$. Множество значений $E(g) = [0, +\infty)$.

Для $f(x) = x^2 - 2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = [-2, +\infty)$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = [0, +\infty)$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(\sqrt{x + 2}) = (\sqrt{x + 2})^2 - 2 = (x + 2) - 2 = x$. Это верно для $x \in [-2, +\infty)$.

2. $g(f(x)) = g(x^2 - 2) = \sqrt{(x^2 - 2) + 2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in [0, +\infty)$, то $|x| = x$. Таким образом, $g(f(x)) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $[0, +\infty)$.

г) Даны функции $f(x) = 8 - 2x^2$ и $g(x) = -\sqrt{4 - 0,5x}$.

Проверим, являются ли функции взаимно обратными. Для $g(x) = -\sqrt{4 - 0,5x}$ область определения: $4 - 0,5x \ge 0 \implies 4 \ge 0,5x \implies 8 \ge x$. $D(g) = (-\infty, 8]$. Множество значений $E(g) = (-\infty, 0]$, так как перед корнем стоит знак минус.

Для $f(x) = 8 - 2x^2$ область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Множество значений $E(f) = (-\infty, 8]$.

Сузим область определения $f(x)$ до $D_{огр}(f) = (-\infty, 0]$, чтобы она соответствовала множеству значений $E(g)$. На этом промежутке $f(x)$ монотонно возрастает. При этом $D_{огр}(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$.

Проверим композиции:

1. $f(g(x)) = f(-\sqrt{4 - 0,5x}) = 8 - 2(-\sqrt{4 - 0,5x})^2 = 8 - 2(4 - 0,5x) = 8 - 8 + x = x$. Это верно для $x \in (-\infty, 8]$.

2. $g(f(x)) = g(8 - 2x^2) = -\sqrt{4 - 0,5(8 - 2x^2)} = -\sqrt{4 - 4 + x^2} = -\sqrt{x^2} = -|x|$.
Так как мы рассматриваем $x \in (-\infty, 0]$, то $x \le 0$ и $|x| = -x$. Таким образом, $g(f(x)) = -(-x) = x$.

Оба тождества выполняются.

Ответ: Функции являются взаимно обратными при ограничении области определения функции $f(x)$ до $(-\infty, 0]$.