Номер 10.27, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.27. a) $f(x) = \frac{3}{x}$, $g(x) = \frac{3}{x}$;

б) $f(x) = \frac{3}{x+1}$, $g(x) = \frac{3-x}{x}$;

в) $f(x) = \frac{1}{2x}$, $g(x) = \frac{1}{2x}$;

г) $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$, $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$.

а) Даны функции $f(x) = \frac{3}{x}$ и $g(x) = \frac{3}{x}$.

Две функции считаются равными, если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{3}{x}$. Знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{3}{x}$. Аналогично, знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Сравним выражения для функций. Аналитические выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$ полностью совпадают.

Так как области определения функций $D(f)$ и $D(g)$ совпадают и для любого $x$ из этой области $f(x) = g(x)$, то функции являются равными.

Ответ: функции равны.

б) Даны функции $f(x) = \frac{3}{x+1}$ и $g(x) = \frac{3-x}{x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{3}{x+1}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{3-x}{x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Сравним области определения. Так как $D(f) \neq D(g)$ (например, точка $x=0$ принадлежит $D(f)$, но не принадлежит $D(g)$), то функции не являются равными.

Кроме того, можно сравнить значения функций в общей для них точке, например, при $x=1$. Имеем $f(1) = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$ и $g(1) = \frac{3-1}{1} = 2$. Поскольку $f(1) \neq g(1)$, это также доказывает, что функции не равны.

Ответ: функции не равны.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{2x}$ и $g(x) = \frac{1}{2x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{1}{2x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{1}{2x}$. Аналогично, $2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Аналитические выражения для функций $f(x)$ и $g(x)$ и их области определения $D(f)$ и $D(g)$ совпадают.

Следовательно, функции являются равными.

Ответ: функции равны.

г) Даны функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ и $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$.

1. Найдем область определения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем область определения функции $g(x) = \frac{x+1}{1-x}$. Знаменатель не может быть равен нулю: $1-x \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$. Область определения $D(g) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

3. Сравним области определения. Так как $D(f) \neq D(g)$ (например, точка $x=1$ принадлежит $D(f)$, но не принадлежит $D(g)$), то функции не являются равными.

Также можно преобразовать выражение для $g(x)$: $g(x) = \frac{x+1}{1-x} = \frac{x+1}{-(x-1)} = -\frac{x+1}{x-1}$. Видно, что аналитические выражения для $f(x)$ и $g(x)$ также различны.

Ответ: функции не равны.