Номер 10.21, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.21. $y = (x + 3)^2 - 2$:

а) на $R$;

б) на $[-3; +\infty)$;

в) на $(-\infty; -3]$;

г) на $[-4; 4]$.

Данная функция $y = (x + 3)^2 - 2$ является квадратичной. Ее график — парабола.Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h; k)$ — это $y = a(x - h)^2 + k$.В нашем случае $a=1$, $h=-3$, $k=-2$.Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -2)$.Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.Это означает, что в точке $x = -3$ функция достигает своего наименьшего значения, равного $-2$.В задаче требуется найти область значений функции на различных промежутках.

а) на R

Рассмотрим функцию на всей числовой прямой $\mathbb{R}$.Как мы установили, функция имеет глобальное наименьшее значение в вершине параболы.$y_{min} = y(-3) = -2$.Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция неограниченно возрастает при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$.Следовательно, область значений функции (множество всех принимаемых функцией значений) на множестве всех действительных чисел — это все числа, большие или равные $-2$.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

б) на [-3; +?)

На этом промежутке абсцисса вершины $x = -3$ является левой границей.Начиная с этой точки, функция является монотонно возрастающей, так как мы движемся от вершины вправо по параболе, ветви которой направлены вверх.Наименьшее значение на этом промежутке достигается в точке $x = -3$ и равно $y(-3) = -2$.Поскольку промежуток неограничен справа, функция будет принимать сколь угодно большие значения.Таким образом, область значений функции на промежутке $[-3; +\infty)$ начинается с $-2$ и уходит в бесконечность.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

в) на (-?; -3]

На этом промежутке абсцисса вершины $x = -3$ является правой границей.На этом промежутке функция является монотонно убывающей, так как мы движемся к вершине слева по параболе.Наименьшее значение на этом промежутке также достигается в точке $x = -3$ и равно $y(-3) = -2$.Поскольку промежуток неограничен слева ($x \to -\infty$), значения функции неограниченно возрастают ($(x+3)^2 \to +\infty$).Следовательно, область значений функции на промежутке $(-\infty; -3]$ также начинается с $-2$ и уходит в бесконечность.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

г) на [-4; 4]

Это замкнутый промежуток (отрезок). Чтобы найти область значений непрерывной функции на отрезке, нужно найти значения функции на его концах и в точке вершины, если она принадлежит отрезку.Абсцисса вершины $x = -3$ принадлежит отрезку $[-4; 4]$. Значение функции в этой точке является наименьшим для всей функции, а значит и для этого отрезка:$y_{min} = y(-3) = (-3 + 3)^2 - 2 = 0^2 - 2 = -2$.Теперь найдем значения функции на концах отрезка:При $x = -4$: $y(-4) = (-4 + 3)^2 - 2 = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.При $x = 4$: $y(4) = (4 + 3)^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$.Сравнивая полученные значения ($-2$, $-1$ и $47$), видим, что наименьшее значение на отрезке равно $-2$, а наибольшее равно $47$.Следовательно, область значений функции на отрезке $[-4; 4]$ — это все числа между $-2$ и $47$, включая концы.
Ответ: $[-2; 47]$.