Номер 10.20, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.20. $y = x^2 - 2$:

a) на $\mathbb{R}$;

б) на $ [1; 2) $;

в) на $ (-1; 5] $;

г) на $ [-2; 0] $.

Для решения задачи найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^2 - 2$ на заданных промежутках.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ определяют точку глобального минимума функции.

Найдем координаты вершины. Для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 2$, поэтому $a=1$, $b=0$.

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Ордината вершины (минимальное значение функции): $y_v = y(x_v) = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

а) на R;

Промежуток — вся числовая прямая $\mathbb{R}$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине, но не имеет наибольшего значения (не ограничена сверху).

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = -2$ (достигается при $x=0$).

Наибольшего значения функция не имеет.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшего значения не существует.

б) на [1; 2];

Рассматривается отрезок $[1; 2]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ не принадлежит этому отрезку.

На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = x^2 - 2$ является строго возрастающей. Поскольку отрезок $[1; 2]$ является частью этого промежутка, функция на нем также возрастает.

Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(1) = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Наибольшее значение: $y_{max} = y(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 2$.

в) на (-1; 5];

Рассматривается полуинтервал $(-1; 5]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ принадлежит этому промежутку.

Поскольку вершина параболы — это точка глобального минимума, то наименьшее значение на данном промежутке будет достигаться именно в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка, так как функция возрастает при удалении от вершины.

Сравним значения функции в точках, наиболее удаленных от вершины $x=0$: $x \to -1$ и $x = 5$.

Значение на правом конце: $y(5) = 5^2 - 2 = 25 - 2 = 23$.

Значение на левом конце (предел, так как точка не включена): $y(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

Сравнивая значения $23$ и $-1$, видим, что наибольшее значение достигается в точке $x=5$, которая принадлежит данному промежутку.

Наибольшее значение: $y_{max} = 23$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = 23$.

г) на [-2; 0].

Рассматривается отрезок $[-2; 0]$. Абсцисса вершины $x_v = 0$ является правым концом этого отрезка.

На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = x^2 - 2$ является строго убывающей. Поскольку отрезок $[-2; 0]$ является частью этого промежутка, функция на нем также убывает.

Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{max} = y(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Наименьшее значение: $y_{min} = y(0) = 0^2 - 2 = -2$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = 2$.