Номер 10.13, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций:

a) $y = \sqrt{x + 3}$;

б) $y = -\sqrt{2 - x}$;

в) $y = \sqrt{2x - 1}$;

г) $y = -\sqrt{3 - 5x}$.

а) $y = \sqrt{x + 3}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для исходной функции $y = \sqrt{x + 3}$.
Область определения $D(y)$: выражение под корнем должно быть неотрицательным. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Итак, $D(y) = [-3; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = \sqrt{x + 3}$. Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат: $y^2 = x + 3$
$x = y^2 - 3$
Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию: $y = x^2 - 3$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции: $x \ge 0$. Таким образом, обратная функция: $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-3, 0)$ и идущая вправо и вверх. Это стандартный график $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево по оси Ox.
- График обратной функции $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, -3)$. Это стандартный график $y = x^2$, смещенный на 3 единицы вниз по оси Oy, причем рассматривается только его часть при $x \ge 0$.
- Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = x^2 - 3$, где $x \ge 0$.

б) $y = -\sqrt{2 - x}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = -\sqrt{2 - x}$.
Область определения $D(y)$: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Итак, $D(y) = (-\infty; 2]$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{2 - x} \ge 0$, то $-\sqrt{2 - x} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = -\sqrt{2 - x}$. Учитывая, что $y \le 0$, возводим в квадрат обе части: $y^2 = 2 - x$
$x = 2 - y^2$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = 2 - x^2$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \le 0$. Следовательно, обратная функция: $y = 2 - x^2$ при $x \le 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = -\sqrt{2 - x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2, 0)$ и идущая влево и вниз. Это график $y = \sqrt{x}$, отраженный относительно оси Oy, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox, а затем отраженный относительно оси Ox.
- График обратной функции $y = 2 - x^2$ при $x \le 0$ — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$. Это график $y = -x^2$, смещенный на 2 единицы вверх по оси Oy, причем рассматривается только его часть при $x \le 0$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = 2 - x^2$, где $x \le 0$.

в) $y = \sqrt{2x - 1}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = \sqrt{2x - 1}$.
Область определения $D(y)$: $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$. Итак, $D(y) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: $y \ge 0$. Итак, $E(y) = [0; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$ из $y = \sqrt{2x - 1}$. При $y \ge 0$ возводим в квадрат: $y^2 = 2x - 1$
$2x = y^2 + 1$
$x = \frac{y^2 + 1}{2}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{x^2 + 1}{2}$
Область определения обратной функции: $x \ge 0$. Итак, обратная функция: $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = \sqrt{2x - 1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и идущая вправо и вверх. Это график $y = \sqrt{x}$, сжатый к оси Oy в 2 раза и смещенный на $\frac{1}{2}$ вправо по оси Ox.
- График обратной функции $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0, \frac{1}{2})$. Это график $y = x^2$, сжатый к оси Ox в 2 раза (или растянутый от оси Oy) и смещенный на $\frac{1}{2}$ вверх по оси Oy. Рассматривается только часть при $x \ge 0$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$, где $x \ge 0$.

г) $y = -\sqrt{3 - 5x}$

1. Нахождение обратной функции.
Найдем область определения и область значений для $y = -\sqrt{3 - 5x}$.
Область определения $D(y)$: $3 - 5x \ge 0 \implies 3 \ge 5x \implies x \le \frac{3}{5}$. Итак, $D(y) = (-\infty; \frac{3}{5}]$.
Область значений $E(y)$: $-\sqrt{3 - 5x} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Выразим $x$ через $y$ из $y = -\sqrt{3 - 5x}$. При $y \le 0$ возводим в квадрат: $y^2 = 3 - 5x$
$5x = 3 - y^2$
$x = \frac{3 - y^2}{5}$
Меняем местами $x$ и $y$: $y = \frac{3 - x^2}{5}$
Область определения обратной функции: $x \le 0$. Итак, обратная функция: $y = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}x^2$ при $x \le 0$.

2. Построение графиков.
- График исходной функции $y = -\sqrt{3 - 5x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(\frac{3}{5}, 0)$ и идущая влево и вниз.
- График обратной функции $y = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}x^2$ при $x \le 0$ — это левая ветвь параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, \frac{3}{5})$.
- Графики симметричны относительно прямой $y = x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \frac{3 - x^2}{5}$, где $x \le 0$.