Номер 10.14, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.14. Может ли функция иметь обратную, если она:

а) линейная;

в) дробно-линейная;

б) квадратичная;

г) вида $y = \sqrt{x + a}$?

а) линейная;
Линейная функция задается формулой $y = kx + b$. Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она является строго монотонной (взаимно-однозначной).
Производная линейной функции равна $y' = k$. Если $k > 0$, функция строго возрастает на всей области определения ($\mathbb{R}$), а если $k < 0$ — строго убывает. В обоих этих случаях (при $k \neq 0$) функция является строго монотонной и, следовательно, обратимой. Обратную функцию можно найти, выразив $x$ через $y$: $y = kx + b \implies kx = y - b \implies x = \frac{y-b}{k}$. Обратная функция имеет вид $y_{inv}(x) = \frac{x-b}{k}$.
Если же $k=0$, то функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция, которая не является взаимно-однозначной (например, $f(1) = b$ и $f(2) = b$), а значит, не имеет обратной.
Таким образом, линейная функция может иметь обратную, если она не является постоянной ($k \neq 0$).
Ответ: Да, может.

б) квадратичная;
Квадратичная функция задается формулой $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$. Область определения такой функции — все действительные числа ($\mathbb{R}$).
Графиком квадратичной функции является парабола, которая симметрична относительно вертикальной прямой $x = -b/(2a)$. Эта симметрия означает, что функция не является взаимно-однозначной: для любого значения $y$ из области значений (кроме значения в вершине) существуют два разных значения $x$, которым оно соответствует. Например, для функции $y=x^2$ имеем $f(-2)=4$ и $f(2)=4$.
Поскольку функция не является взаимно-однозначной на всей своей естественной области определения, она не имеет обратной.
Стоит отметить, что если сузить область определения квадратичной функции до интервала, на котором она строго монотонна (например, для $y=x^2$ взять промежуток $[0, +\infty)$), то на этом промежутке функция будет иметь обратную. Однако, рассматриваемая как функция на всей числовой оси, она необратима.
Ответ: Нет, не может, если рассматривать ее на всей числовой оси.

в) дробно-линейная;
Дробно-линейная функция задается формулой $y = \frac{ax+b}{cx+d}$. Будем считать, что она не является ни линейной ($c \neq 0$), ни постоянной ($ad-bc \neq 0$). Область определения такой функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-d/c\}$.
Для проверки на обратимость исследуем ее на монотонность с помощью производной: $y' = \frac{(ax+b)'(cx+d) - (ax+b)(cx+d)'}{(cx+d)^2} = \frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.
Знаменатель $(cx+d)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной зависит от знака определителя $\Delta = ad-bc$. Если $ad-bc > 0$, то $y' > 0$, и функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -d/c)$ и $(-d/c, +\infty)$. Если же $ad-bc < 0$, то $y' < 0$, и функция строго убывает на каждом из этих интервалов.
В любом случае (при $ad-bc \neq 0$) функция является взаимно-однозначной на своей области определения и, следовательно, имеет обратную. Обратная функция находится решением уравнения относительно $x$ и имеет вид $y_{inv}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$.
Ответ: Да, может.

г) вида $y = \sqrt{x+a}$;
Функция задана формулой $y = \sqrt{x+a}$. Ее область определения находится из условия $x+a \ge 0$, то есть $x \in [-a, +\infty)$. Область значений функции: $y \in [0, +\infty)$.
Проверим функцию на монотонность. Найдем ее производную: $y' = (\sqrt{x+a})' = \frac{1}{2\sqrt{x+a}}$.
На всей области определения, где производная существует (то есть при $x > -a$), $y' > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[-a, +\infty)$.
Поскольку функция строго монотонна, она имеет обратную. Найдем ее, выразив $x$ из исходного уравнения: $y = \sqrt{x+a} \implies y^2 = x+a$ (при условии $y \ge 0$). Отсюда $x = y^2 - a$.
Меняя местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию $y_{inv}(x) = x^2 - a$. Ее область определения совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \ge 0$.
Ответ: Да, может.