Номер 10.7, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.7. Являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, если:

a) $f(x) = 3x + 5, g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3};$

б) $f(x) = \frac{3}{5} - 6x, g(x) = 0.1 - \frac{1}{6}x;$

в) $f(x) = \frac{1}{7}x - 3, g(x) = 7x + 3;$

г) $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}, g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}?$

Чтобы проверить, являются ли функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ взаимно обратными, найдем для каждой пары функцию, обратную к $f(x)$, и сравним ее с $g(x)$.

а) Даны функции $f(x) = 3x + 5$ и $g(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. Для этого в уравнении $y = 3x + 5$ выразим переменную $x$ через $y$:

$y - 5 = 3x$

$x = \frac{y - 5}{3}$

$x = \frac{1}{3}y - \frac{5}{3}$

Теперь, чтобы получить обратную функцию в стандартной записи, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

Полученная обратная функция $f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$ полностью совпадает с функцией $g(x)$. Следовательно, данные функции являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

б) Даны функции $f(x) = \frac{3}{5} - 6x$ и $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{3}{5} - 6x$ выразим $x$ через $y$:

$6x = \frac{3}{5} - y$

$x = \frac{1}{6} \left(\frac{3}{5} - y \right)$

$x = \frac{3}{30} - \frac{1}{6}y$

$x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}y$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Сравним полученную функцию с $g(x)$. Представим десятичную дробь в $g(x)$ в виде обыкновенной: $g(x) = 0,1 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{10} - \frac{1}{6}x$.

Обратная функция к $f(x)$ совпадает с $g(x)$, значит, функции являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{7}x - 3$ и $g(x) = 7x + 3$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{1}{7}x - 3$ выразим $x$ через $y$:

$y + 3 = \frac{1}{7}x$

$x = 7(y + 3)$

$x = 7y + 21$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = 7x + 21$.

Сравним полученную функцию $f^{-1}(x) = 7x + 21$ с функцией $g(x) = 7x + 3$. Они не совпадают, так как $21 \neq 3$. Следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.

г) Даны функции $f(x) = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ и $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$.

Найдем функцию, обратную к $f(x)$. В уравнении $y = \frac{7}{3}x + \frac{3}{7}$ выразим $x$ через $y$:

$y - \frac{3}{7} = \frac{7}{3}x$

$x = \frac{3}{7}\left(y - \frac{3}{7}\right)$

$x = \frac{3}{7}y - \frac{9}{49}$

Поменяв местами $x$ и $y$, получаем обратную функцию: $y = \frac{3}{7}x - \frac{9}{49}$.

Сравним полученную функцию $f^{-1}(x) = \frac{3}{7}x - \frac{9}{49}$ с функцией $g(x) = \frac{3}{7}x + \frac{7}{3}$. Они не совпадают, так как их свободные члены различны: $-\frac{9}{49} \neq \frac{7}{3}$. Следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: нет, не являются.