Номер 10.5, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10.5. Найдите область определения и множество значений функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, если:

а) $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (3; +\infty);$

б) $D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$, $E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty);$

в) $D(f) = [-5; 6)$, $E(f) = (-\infty; 11];$

г) $D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty).$

Для нахождения области определения $D(g)$ и множества значений $E(g)$ функции $y = g(x)$, обратной для функции $y = f(x)$, используется ключевое свойство взаимно обратных функций. Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции. Это можно записать в виде формул:

$D(g) = E(f)$

$E(g) = D(f)$

Применим это правило для решения каждого из пунктов задачи.

а) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = \mathbb{R}$

$E(f) = (3; +\infty)$

Тогда для обратной функции $g(x)$ область определения $D(g)$ равна множеству значений $E(f)$, а множество значений $E(g)$ равно области определения $D(f)$.

$D(g) = E(f) = (3; +\infty)$

$E(g) = D(f) = \mathbb{R}$

Ответ: $D(g) = (3; +\infty)$, $E(g) = \mathbb{R}$.

б) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$

$E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$

Находим область определения и множество значений для обратной функции $g(x)$, меняя их местами с соответствующими множествами для $f(x)$:

$D(g) = E(f) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$

$E(g) = D(f) = (2; 3) \cup [5; 6)$

Ответ: $D(g) = (3; 4) \cup (7; +\infty)$, $E(g) = (2; 3) \cup [5; 6)$.

в) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = [-5; 6)$

$E(f) = (-\infty; 11]$

Для обратной функции $g(x)$ получаем:

$D(g) = E(f) = (-\infty; 11]$

$E(g) = D(f) = [-5; 6)$

Ответ: $D(g) = (-\infty; 11]$, $E(g) = [-5; 6)$.

г) Даны область определения и множество значений функции $f(x)$:

$D(f) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

В этом случае область определения и множество значений исходной функции совпадают. Следовательно, для обратной функции $g(x)$ они также будут совпадать.

$D(g) = E(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

$E(g) = D(f) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$

Ответ: $D(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$, $E(g) = \{-3; 4; 7\} \cup (10; +\infty)$.