Номер 9.36, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.36. Известно, что $y = f(x)$ — чётная, периодическая функция с основным периодом, равным 8, и что на отрезке $[0; 4]$ она задаётся формулой $y = \sqrt{x} + 1$.

а) Решите уравнение $f(x) = 0$;

б) Решите уравнение $f(x) = 1$;

в) Решите неравенство $f(x) \geq 0,97$;

г) Решите систему неравенств $\begin{cases} f(x) \geq 2, \\ -4 \leq x \leq 8. \end{cases}$

а) Решите уравнение $f(x) = 0$;
Сначала проанализируем свойства функции. На отрезке $[0; 4]$ функция задана как $f(x) = \sqrt{x} + 1$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается при $x=0$ и равно $f(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Наибольшее значение достигается при $x=4$ и равно $f(4) = \sqrt{4} + 1 = 3$. Таким образом, на отрезке $[0; 4]$ множество значений функции есть $[1; 3]$.
Так как функция $f(x)$ чётная, то есть $f(-x) = f(x)$, её график симметричен относительно оси ординат. На отрезке $[-4; 0]$ она принимает те же значения, что и на $[0; 4]$. Значит, на отрезке $[-4; 4]$ (один полный период) множество значений функции также есть $[1; 3]$.
Функция является периодической с периодом 8, поэтому её множество значений на всей числовой прямой совпадает с множеством значений на отрезке $[-4; 4]$. Следовательно, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge 1$.
Уравнение $f(x) = 0$ не может иметь решений, так как $f(x)$ никогда не принимает значение 0.
Ответ: нет решений.

б) решите уравнение $f(x) = 1$;
Как было установлено в пункте а), наименьшее значение функции $f(x)$ равно 1. Найдём, при каких значениях $x$ оно достигается.
Сначала рассмотрим основной промежуток $[-4; 4]$.
1. На отрезке $[0; 4]$ решаем уравнение $f(x) = 1$:
$\sqrt{x} + 1 = 1$
$\sqrt{x} = 0$
$x = 0$.
2. На отрезке $[-4; 0)$ функция определяется из условия чётности: $f(x) = f(-x) = \sqrt{-x} + 1$. Уравнение $f(x)=1$ приводит к $\sqrt{-x}=0$, что даёт $x=0$. Этот корень не входит в промежуток $[-4; 0)$, но мы его уже учли в пункте 1.
Таким образом, на промежутке длины одного периода, например $[-4; 4]$, единственное решение — $x=0$.
Так как функция периодическая с периодом $T=8$, все решения уравнения можно найти по формуле $x = x_0 + nT$, где $x_0$ — решение на одном из периодов, а $n$ — любое целое число.
В нашем случае $x_0 = 0$ и $T=8$.
Следовательно, все решения имеют вид $x = 0 + 8n = 8n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 8n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) решите неравенство $f(x) \ge 0,97$;
Из анализа, проведённого в пункте а), мы знаем, что множество значений функции $f(x)$ есть отрезок $[1; 3]$.
Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge 1$.
Поскольку $1 > 0,97$, то неравенство $f(x) \ge 0,97$ выполняется для всех $x$, для которых функция $f(x)$ определена.
На отрезке $[0; 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x} + 1$ определена. В силу чётности, она определена и на $[-4; 0]$. В силу периодичности, функция определена для всех действительных чисел.
Следовательно, решением неравенства является вся числовая прямая.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) решите систему неравенств $\begin{cases} f(x) \ge 2, \\ -4 \le x \le 8. \end{cases}$
Нам нужно найти решения неравенства $f(x) \ge 2$ на отрезке $[-4; 8]$. Разобьём этот отрезок на две части: $[-4; 4]$ и $(4; 8]$.
1. Решим неравенство на отрезке $[-4; 4]$.
- При $x \in [0; 4]$:
$f(x) = \sqrt{x} + 1 \ge 2$
$\sqrt{x} \ge 1$
Возводя в квадрат обе части (они неотрицательны), получаем $x \ge 1$.
С учётом $x \in [0; 4]$, решение на этом промежутке: $x \in [1; 4]$.
- При $x \in [-4; 0)$:
$f(x) = \sqrt{-x} + 1 \ge 2$
$\sqrt{-x} \ge 1$
$-x \ge 1$, то есть $x \le -1$.
С учётом $x \in [-4; 0)$, решение на этом промежутке: $x \in [-4; -1]$.
Объединяя решения на отрезке $[-4; 4]$, получаем $x \in [-4; -1] \cup [1; 4]$.
2. Решим неравенство на промежутке $(4; 8]$.
Используем периодичность функции: $f(x) = f(x-8)$. Пусть $t = x-8$.
Если $x \in (4; 8]$, то $t \in (4-8; 8-8]$, то есть $t \in (-4; 0]$.
Нам нужно решить неравенство $f(t) \ge 2$ для $t \in (-4; 0]$.
Из пункта 1 мы знаем, что для $t \in [-4; 0)$ решение есть $t \in [-4; -1]$. Учитывая, что $t \in (-4; 0]$, получаем $t \in (-4; -1]$.
Теперь вернёмся к $x$:
$-4 < t \le -1$
$-4 < x-8 \le -1$
Прибавляя 8 ко всем частям, получаем $4 < x \le 7$.
3. Объединим решения, полученные для отрезка $[-4; 4]$ и промежутка $(4; 8]$:
$([-4; -1] \cup [1; 4]) \cup (4; 7] = [-4; -1] \cup [1; 7]$.
Это и есть решение исходной системы, так как мы искали решения на отрезке $[-4; 8]$.
Ответ: $x \in [-4; -1] \cup [1; 7]$.