Номер 9.31, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.31. a) $y = \{x\};$

б) $y = \{x - 2,5\};$

В) $y = \{2x\};$

Г) $y = \{|x|\}.$

а) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$. По определению, дробная часть числа равна разности самого числа и его целой части (антье): $y = x - [x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: полуинтервал $[0, 1)$.
• Периодичность: функция является периодической с основным периодом $T=1$, так как $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$.

Для построения графика достаточно построить его на любом промежутке длиной 1, например на $[0, 1)$, а затем продолжить периодически.

На промежутке $[0, 1)$ имеем $[x] = 0$, поэтому функция принимает вид $y = x - 0 = x$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ (включая) и заканчивающийся в точке $(1, 1)$ (исключая).

В силу периодичности, на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график будет представлять собой отрезок прямой $y = x - n$, параллельный отрезку $y=x$. Эти отрезки начинаются в точках $(n, 0)$ и заканчиваются в выколотых точках $(n+1, 1)$.

Ответ: График функции $y = \{x\}$ представляет собой "пилообразную" волну, состоящую из бесконечного множества параллельных друг другу отрезков с угловым коэффициентом 1. Каждый отрезок определен на полуинтервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$), соединяя точку $(n, 0)$ с точкой $(n+1, 1)$, при этом левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет.

б) $y = \{x - 2,5\}$

График функции $y = \{x - 2,5\}$ можно получить из графика функции $y = \{x\}$ с помощью преобразования. Это преобразование вида $f(x-a)$, которое соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика функции $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс на $a$ единиц вправо. В данном случае $a = 2,5$.

Следовательно, мы должны сдвинуть график функции $y = \{x\}$ на 2,5 единицы вправо.

Рассмотрим построение графика аналитически. Функция периодична с периодом $T=1$. Разрывы (скачки) функции происходят в точках, где выражение под знаком дробной части становится целым числом. То есть, $x - 2,5 = n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = n + 2,5$. Это точки $...; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; ...$

Возьмем промежуток $[2,5; 3,5)$. Для $x$ из этого промежутка имеем $0 \le x - 2,5 < 1$. Тогда $[x - 2,5] = 0$, и функция принимает вид $y = (x - 2,5) - 0 = x - 2,5$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точку $(2,5; 0)$ (включительно) с точкой $(3,5; 1)$ (исключая).

Вследствие периодичности этот отрезок повторяется на каждом промежутке вида $[n+2,5; n+3,5)$.

Ответ: График функции $y = \{x - 2,5\}$ — это "пилообразная" волна, аналогичная графику $y = \{x\}$, но сдвинутая на 2,5 единицы вправо по оси Ох. Отрезки графика имеют угловой коэффициент 1 и соединяют точки $(n+2,5; 0)$ и $(n+3,5; 1)$ для всех целых $n$, при этом левые концы отрезков принадлежат графику, а правые — нет.

в) $y = \{2x\}$

График функции $y = \{2x\}$ можно получить из графика функции $y = \{x\}$ с помощью преобразования вида $f(kx)$. Это преобразование соответствует сжатию графика функции $y=f(x)$ к оси ординат в $k$ раз. В данном случае $k=2$, поэтому происходит сжатие в 2 раза.

Период функции изменяется. Если период $\{x\}$ равен 1, то период $\{kx\}$ равен $T = 1/|k|$. Для нашей функции $T = 1/2 = 0,5$. Область значений остается прежней: $[0, 1)$.

Построим график на промежутке длиной в один новый период, например на $[0; 0,5)$.

Для $x \in [0; 0,5)$, имеем $0 \le 2x < 1$. Тогда $[2x] = 0$, и функция принимает вид $y = 2x - 0 = 2x$. Графиком является отрезок прямой $y=2x$, соединяющий точку $(0, 0)$ (включительно) с точкой $(0,5; 1)$ (исключая). Угловой коэффициент этого отрезка равен 2.

Так как период функции равен 0,5, этот отрезок будет повторяться на каждом промежутке вида $[0,5n; 0,5(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, на $[0,5; 1)$ имеем $1 \le 2x < 2$, поэтому $[2x]=1$ и $y = 2x - 1$.

Ответ: График функции $y = \{2x\}$ — это "пилообразная" волна с периодом 0,5. Она состоит из отрезков с угловым коэффициентом 2. Каждый отрезок соединяет точку $(0,5n; 0)$ с точкой $(0,5(n+1); 1)$ для всех целых $n$, при этом левый конец отрезка принадлежит графику, а правый — нет.

г) $y = \{|x|\}$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \{|-x|\} = \{|x|\} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид $y = \{x\}$. Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ график функции $y = \{|x|\}$ совпадает с графиком функции $y = \{x\}$. Это "пилообразная" волна, начинающаяся в точке $(0,0)$ и идущая вправо.

2. При $x < 0$, мы отражаем построенную в п.1 часть графика относительно оси OY. То есть, если точка $(x_0, y_0)$ с $x_0 > 0$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$ тоже ему принадлежит.

Можно также рассмотреть случай $x < 0$ аналитически. В этом случае $|x| = -x$. Функция принимает вид $y = \{-x\}$. На промежутке $(-1, 0]$ имеем $0 \le -x < 1$, так что $[-x] = 0$, и $y = -x - 0 = -x$. Это отрезок прямой $y=-x$ от точки $(-1, 1)$ (исключая) до точки $(0, 0)$ (включая). На промежутке $(-2, -1]$ имеем $1 \le -x < 2$, так что $[-x] = 1$, и $y = -x - 1$. Это отрезок от $(-2, 1)$ (исключая) до $(-1, 0)$ (включая).

Ответ: График функции $y = \{|x|\}$ симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y = \{x\}$. Для $x < 0$ он является зеркальным отражением части графика для $x > 0$. График представляет собой симметричную "пилообразную" или "палаточную" конструкцию, сходящуюся к точке $(0,0)$. На промежутках $[n, n+1)$ для $n \ge 0$ это отрезки $y=x-n$, а на промежутках $(-(n+1), -n]$ для $n \ge 0$ это отрезки $y=-x-n$.