Номер 9.24, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.24. a) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(x) = f(x + 2)$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

б) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(x) = f(x - 3)$, а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

Да, такая функция существует. Ключевым моментом для решения является точное определение периодической функции.

Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняются оба следующих условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

В условии задачи дано равенство $f(x) = f(x+2)$. Это соответствует второму условию определения для периода $T=2$. Также из этого равенства следует, что если $x \in D(f)$, то и $x+2 \in D(f)$. Однако для того, чтобы функция была периодической, требуется, чтобы для любого $x \in D(f)$ точка $x-2$ также принадлежала области определения. Мы можем построить пример функции, где это условие нарушается.

Для этого достаточно выбрать область определения, которая не является "симметричной" относительно сдвигов на 2 в обе стороны. Например, можно взять область определения, ограниченную слева.

Пример:

Рассмотрим простейшую такую функцию — константу, заданную на луче: $f(x) = 5$ с областью определения $D(f) = [0, +\infty)$.

• Проверка равенства: для любого $x \in [0, +\infty)$ точка $x+2$ также принадлежит $D(f)$. При этом $f(x) = 5$ и $f(x+2) = 5$, так что равенство $f(x) = f(x+2)$ выполняется для всех $x$ из области определения.
• Проверка периодичности: функция не является периодической. Для того чтобы $T=2$ был периодом, для любого $x \in D(f)$ должно выполняться, что $x-2 \in D(f)$. Но если взять, к примеру, $x=1 \in D(f)$, то $x-2 = -1$, а эта точка не принадлежит $D(f) = [0, +\infty)$. Таким образом, первое условие из определения периодической функции не выполнено.

Следовательно, данная функция удовлетворяет условию задачи, но не является периодической.

Ответ: Да, существует. Например, любая функция-константа $f(x) = c$ с областью определения вида $[a, +\infty)$ или $(a, +\infty)$ для любого действительного числа $a$.

Да, такая функция существует. Рассуждения полностью аналогичны пункту а).

Условие $f(x) = f(x-3)$ для любого $x$ из области определения $D(f)$ означает, что если $x \in D(f)$, то и $x-3 \in D(f)$. Заменив в этом равенстве $x$ на $x+3$, мы получим эквивалентное равенство $f(x+3) = f(x)$, которое должно выполняться для всех $x$ таких, что $x+3 \in D(f)$.

Для того чтобы функция была периодической с периодом $T=3$, её область определения $D(f)$ должна быть такой, что для любого $x \in D(f)$ точки $x+3$ и $x-3$ также принадлежат $D(f)$.

Мы можем нарушить это требование, выбрав на этот раз область определения, ограниченную справа.

Пример:

Рассмотрим функцию-константу $f(x) = 10$ с областью определения $D(f) = (-\infty, 0]$.

• Проверка равенства: для любого $x \in (-\infty, 0]$ точка $x-3$ также принадлежит $D(f)$. При этом $f(x) = 10$ и $f(x-3) = 10$, так что равенство $f(x) = f(x-3)$ выполняется для всех $x$ из области определения.
• Проверка периодичности: функция не является периодической. Для того чтобы $T=3$ был периодом, для любого $x \in D(f)$ должно выполняться, что $x+3 \in D(f)$. Но если взять, к примеру, $x=-2 \in D(f)$, то $x+3 = 1$, а эта точка не принадлежит $D(f) = (-\infty, 0]$. Условие периодичности не выполнено.

Таким образом, эта функция удовлетворяет условию задачи, но не является периодической.

Ответ: Да, существует. Например, любая функция-константа $f(x) = c$ с областью определения вида $(-\infty, b]$ или $(-\infty, b)$ для любого действительного числа $b$.