Номер 9.20, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.20. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3 на отрезке $[-1; 2]$ равно 5, а наименьшее значение равно -2. Найдите, если это возможно:

a) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 11)$;

б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-5; 8)$;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 1)$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-\infty; 1)$.

Пусть $f(x)$ — данная периодическая функция с периодом $T=3$. Из условия известно, что на отрезке $[-1; 2]$ наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее — -2. Длина отрезка $[-1; 2]$ равна $2 - (-1) = 3$, что в точности совпадает с периодом функции. Это означает, что на отрезке $[-1; 2]$ функция принимает все свои возможные значения. Следовательно, глобальное наибольшее значение функции на всей области определения равно 5, а глобальное наименьшее значение равно -2. То есть, для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $-2 \le f(x) \le 5$. Также существуют такие значения аргумента $x_{max}$ и $x_{min}$, что $f(x_{max}) = 5$ и $f(x_{min}) = -2$. Из-за периодичности, если функция принимает некоторое значение в точке $x_0$, то она принимает это же значение во всех точках вида $x_0 + 3k$, где $k$ — любое целое число.

а) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-2; 11]$

Рассмотрим промежуток $(-2; 11]$. Его длина равна $11 - (-2) = 13$, что больше периода $T=3$. Это означает, что данный промежуток содержит в себе как минимум один полный период. В частности, исходный отрезок $[-1; 2]$ целиком содержится в промежутке $(-2; 11]$, так как $-2 < -1$ и $2 \le 11$. Поскольку на отрезке $[-1; 2]$ функция достигает своего наибольшего значения 5 и наименьшего значения -2, а этот отрезок является частью промежутка $(-2; 11]$, то и на промежутке $(-2; 11]$ функция также достигнет этих значений. Учитывая, что 5 и -2 — это глобальные экстремумы, на промежутке $(-2; 11]$ значения не могут быть больше 5 или меньше -2. Следовательно, наибольшее значение функции на промежутке $(-2; 11]$ равно 5, а наименьшее — -2.

Ответ: наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно -2.

б) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке $(-5; 8]$

Рассмотрим промежуток $(-5; 8]$. Его длина равна $8 - (-5) = 13$, что также больше периода $T=3$. Как и в предыдущем пункте, этот промежуток содержит в себе отрезок длиной в один период. Например, исходный отрезок $[-1; 2]$ полностью лежит внутри $(-5; 8]$, так как $-5 < -1$ и $2 \le 8$. Рассуждая аналогично пунк