Номер 9.25, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.25. a) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется равенство $f(2x) = f(x)$ и функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

б) Существует ли такая функция $y = f(x)$, что для любого $x$ из области её определения выполняется неравенство $f(2x) > f(x)$ и функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.

Да, такая функция существует.

Рассмотрим в качестве примера постоянную функцию $y = f(x) = C$, где $C$ — любая константа (например, $C=1$). Пусть её область определения — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Проверим, выполняются ли для этой функции оба заданных условия.

1. Условие $f(2x) = f(x)$.
Для любого действительного $x$ значение функции $f(x)$ равно $C$. Значение функции $f(2x)$ также равно $C$. Таким образом, равенство $C = C$ выполняется для всех $x$ из области определения.

2. Условие периодичности.
Функция $f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \neq 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Для функции $f(x) = C$ имеем $f(x+T) = C$. Равенство $C = C$ выполняется для любого $x$ и для любого ненулевого $T$. Следовательно, функция является периодической (любое число $T \neq 0$ является её периодом).

Так как оба условия выполняются, постоянная функция является примером искомой функции.

Ответ: Да, существует. Например, $f(x) = 1$.

Нет, такой функции не существует.

Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что такая функция $f(x)$ существует. Это означает, что для неё одновременно выполняются два условия:

1. Функция является периодической. То есть существует такое число $T \neq 0$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Без ограничения общности будем считать, что $T > 0$.

2. Для любого $x$ из области определения выполняется строгое неравенство $f(2x) > f(x)$.

Из свойства периодичности следует, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x+nT) = f(x)$.

Рассмотрим точку $x = T$. Для периодической функции, определённой на всей числовой оси или на луче, эта точка (как и любые точки $nT$) будет входить в область определения. Применив свойство периодичности для точки $x=T$ и $n=1$, мы получим:

$f(T+T) = f(T)$, что равносильно $f(2T) = f(T)$.

Теперь воспользуемся вторым условием, $f(2x) > f(x)$. Это неравенство должно выполняться для всех $x$ из области определения, следовательно, оно должно быть верным и для точки $x=T$. Подставив $x=T$ в это неравенство, получаем:

$f(2T) > f(T)$.

В результате мы пришли к двум несовместным утверждениям:

• Из свойства периодичности: $f(2T) = f(T)$.
• Из второго условия: $f(2T) > f(T)$.

Получено противоречие: число $f(2T)$ не может быть одновременно равным числу $f(T)$ и строго большим его. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании такой функции было неверным.

Ответ: Нет, не существует.