Номер 9.32, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.32. a) $y = \vert\{x\}\vert$;

б) $y = x + \{x\}$;

В) $y = x - \{x\}$;

Г) $y = \{[x]\}$.

а) Рассмотрим функцию $y = |\{x\}|$. Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (антье). По определению, дробная часть числа всегда находится в промежутке $0 \le \{x\} < 1$. Так как $\{x\}$ всегда неотрицательна, модуль от $\{x\}$ равен самой величине $\{x\}$: $|\{x\}| = \{x\}$. Следовательно, исходная функция эквивалентна функции $y = \{x\}$. График функции $y = \{x\}$ представляет собой периодическую "пилообразную" волну с периодом 1. На каждом промежутке $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, график совпадает с отрезком прямой $y = x - n$, начинающимся в точке $(n, 0)$ и заканчивающимся в точке $(n+1, 1)$ (точка $(n+1, 1)$ не включается).
Ответ: Функция эквивалентна $y = \{x\}$. График — периодическая "пилообразная" волна с периодом 1.

б) Рассмотрим функцию $y = x + \{x\}$. Используем определение дробной части: $\{x\} = x - [x]$. Подставим это в уравнение функции: $y = x + (x - [x]) = 2x - [x]$. Чтобы построить график, проанализируем поведение функции на промежутках вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$). На таком промежутке целая часть $[x]$ постоянна и равна $n$. Тогда функция принимает вид $y = 2x - n$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом 2. Найдем значения на концах промежутка:

• При $x = n$ (левый конец, включается): $y = 2n - n = n$. Точка $(n, n)$.
• При $x \to n+1$ (правый конец, не включается): $y \to 2(n+1) - n = 2n + 2 - n = n + 2$. Точка $(n+1, n+2)$ является "выколотой".

Таким образом, график состоит из множества отрезков. Например:

• На $[0, 1)$, $y = 2x$. Отрезок от $(0, 0)$ до $(1, 2)$.
• На $[1, 2)$, $y = 2x - 1$. Отрезок от $(1, 1)$ до $(2, 3)$.
• На $[-1, 0)$, $y = 2x + 1$. Отрезок от $(-1, -1)$ до $(0, 1)$.

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора отрезков. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график представляет собой отрезок прямой $y = 2x - n$, соединяющий точку $(n, n)$ (включительно) с точкой $(n+1, n+2)$ (исключительно).

в) Рассмотрим функцию $y = x - \{x\}$. Воспользуемся определением дробной части числа: $\{x\} = x - [x]$. Подставим его в исходное уравнение: $y = x - (x - [x]) = x - x + [x] = [x]$. Таким образом, данная функция является функцией "антье" или "целая часть числа". График этой функции — ступенчатая линия. На каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число, функция постоянна и равна $n$. Например:

• При $x \in [0, 1)$, $y = [x] = 0$.
• При $x \in [1, 2)$, $y = [x] = 1$.
• При $x \in [-1, 0)$, $y = [x] = -1$.

Ответ: Функция тождественно равна функции "целая часть числа": $y = [x]$. Её график — ступенчатая функция.

г) Рассмотрим функцию $y = \{[x]\}$. Эта функция является композицией двух функций: внешней — "дробная часть" $\{ \cdot \}$, и внутренней — "целая часть" $[x]$. Проанализируем результат работы внутренней функции. Для любого действительного числа $x$ его целая часть $[x]$ по определению является целым числом. Обозначим $n = [x]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Тогда исходная функция принимает вид $y = \{n\}$. Теперь найдем дробную часть от любого целого числа $n$. По определению, $\{n\} = n - [n]$. Поскольку $n$ — целое число, его целая часть $[n]$ равна самому $n$. Следовательно, $\{n\} = n - n = 0$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение функции будет равно нулю. $y = \{[x]\} = 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: Функция тождественно равна нулю для всех действительных значений $x$. Ее график — прямая линия, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox).