Номер 9.34, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.34. a) $y = \{x - 3.7\} + 3\{2x - 2.5\}$; $y = \{\frac{3x}{4} + 0.3\} + 5\{x - 11\}$;

б) $y = \{2x\} + \{3x - 2.5\}$; $y = 4 - \{12x - 2.5\} + \{18x\}$;

в) $y = \{0.3x\} + 5\{0.25x\}$; $y = 7\{0.15x\} + 1.1\{0.25x\}$;

г) $y = \{\frac{3x}{4}\} - \{\frac{5x+2}{3}\}$; $y = \{6 - \frac{10x}{11}\} + 3 \cdot \{\frac{15x+2}{22}\}$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{x - 3,7\} + 3\{2x - 2,5\}$.
Эта функция является линейной комбинацией функций, содержащих дробную часть от линейного аргумента. Такие функции являются периодическими. Период функции вида $f(x)=\{ax+b\}$ равен $T = 1/|a|$.
Для слагаемого $\{x - 3,7\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=1$, поэтому его период $T_1 = 1/1 = 1$.
Для слагаемого $3\{2x - 2,5\}$ период определяется функцией $\{2x - 2,5\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=2$, поэтому его период $T_2 = 1/2$.
Наименьший положительный период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1, 1/2) = 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = \{\frac{3x}{4} + 0,3\} + 5\{x - 11\}$.
Используем тот же подход.
Для слагаемого $\{\frac{3x}{4} + 0,3\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=3/4$, поэтому его период $T_1 = 1/(3/4) = 4/3$.
Для слагаемого $5\{x - 11\}$ период определяется функцией $\{x - 11\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=1$, поэтому его период $T_2 = 1/1 = 1$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен НОК периодов ее слагаемых.
$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(4/3, 1) = 4$.

Ответ: для $y = \{x - 3,7\} + 3\{2x - 2,5\}$ наименьший положительный период равен $1$. Для $y = \{\frac{3x}{4} + 0,3\} + 5\{x - 11\}$ наименьший положительный период равен $4$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{2x\} + \{3x - 2,5\}$.
Для слагаемого $\{2x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=2$, период $T_1 = 1/2$.
Для слагаемого $\{3x - 2,5\}$ коэффициент при $x$ равен $a_2=3$, период $T_2 = 1/3$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1/2, 1/3) = 1$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 4 - \{12x - 2,5\} + \{18x\}$.
Постоянное слагаемое $4$ не влияет на периодичность.
Для слагаемого $-\{12x - 2,5\}$ период определяется функцией $\{12x - 2,5\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_1=12$, период $T_1 = 1/12$.
Для слагаемого $\{18x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_2=18$, период $T_2 = 1/18$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(1/12, 1/18) = \frac{\text{НОК}(1,1)}{\text{НОД}(12,18)} = \frac{1}{6}$.

Ответ: для $y = \{2x\} + \{3x - 2,5\}$ наименьший положительный период равен $1$. Для $y = 4 - \{12x - 2,5\} + \{18x\}$ наименьший положительный период равен $1/6$.

Рассмотрим первую функцию: $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$.
Для слагаемого $\{0,3x\}$ коэффициент при $x$ равен $a_1=0,3=3/10$, период $T_1 = 1/(3/10) = 10/3$.
Для слагаемого $5\{0,25x\}$ период определяется функцией $\{0,25x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=0,25=1/4$, период $T_2 = 1/(1/4) = 4$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(10/3, 4) = \frac{\text{НОК}(10,4)}{\text{НОД}(3,1)} = \frac{20}{1} = 20$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$.
Для слагаемого $7\{0,15x\}$ период определяется функцией $\{0,15x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_1=0,15=15/100=3/20$, период $T_1 = 1/(3/20) = 20/3$.
Для слагаемого $1,1\{0,25x\}$ период определяется функцией $\{0,25x\}$. Коэффициент при $x$ равен $a_2=0,25=1/4$, период $T_2 = 1/(1/4) = 4$.
Наименьший положительный период функции $y$ равен $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(20/3, 4) = \frac{\text{НОК}(20,4)}{\text{НОД}(3,1)} = \frac{20}{1} = 20$.

Ответ: для $y = \{0,3x\} + 5\{0,25x\}$ наименьший положительный период равен $20$. Для $y = 7\{0,15x\} + 1,1\{0,25x\}$ наименьший положительный период равен $20$.

Рассмотрим первую функцию: $y = [\frac{3x}{4}] - [\frac{5x+2}{3}]$.
Данная функция содержит целую часть от линейных выражений и не является периодической. Проанализируем ее структуру, представив целую часть через дробную, используя тождество $[z] = z - \{z\}$.
$y = \left(\frac{3x}{4} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right) - \left(\frac{5x+2}{3} - \left\{\frac{5x+2}{3}\right\}\right)$
$y = \left(\frac{3x}{4} - \frac{5x+2}{3}\right) + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right)$
$y = \frac{9x - 4(5x+2)}{12} + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right)$
$y = \frac{-11x - 8}{12} + \left(\left\{\frac{5x+2}{3}\right\} - \left\{\frac{3x}{4}\right\}\right) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3} + P(x)$
Здесь $P(x) = \{\frac{5x+2}{3}\} - \{\frac{3x}{4}\}$ является периодической функцией. Ее период $T$ равен НОК периодов слагаемых: $T_1 = 1/(5/3) = 3/5$ и $T_2 = 1/(3/4) = 4/3$.
$T = \text{НОК}(3/5, 4/3) = \frac{\text{НОК}(3,4)}{\text{НОД}(5,3)} = 12$.
Таким образом, функция $y(x)$ является суммой линейной функции $L(x) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3}$ и периодической функции $P(x)$ с периодом $12$.

Рассмотрим вторую функцию: $y = [6 - \frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$.
Используя свойство $[n+z]=n+[z]$ для целого $n$, получаем $y = 6 + [-\frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$.
Применим тождество $[z]=z-\{z\}$:
$y = 6 + \left(-\frac{10x}{11} - \left\{-\frac{10x}{11}\right\}\right) + 3\left(\frac{15x+2}{22} - \left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(6 - \frac{10x}{11} + \frac{3(15x+2)}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(6 - \frac{20x}{22} + \frac{45x+6}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right)$
$y = \left(\frac{132+6}{22} + \frac{25x}{22}\right) - \left(\left\{-\frac{10x}{11}\right\} + 3\left\{\frac{15x+2}{22}\right\}\right) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11} + P(x)$
Здесь $P(x) = -\{-\frac{10x}{11}\} - 3\{\frac{15x+2}{22}\}$ — периодическая функция. Ее период $T$ равен НОК периодов слагаемых: $T_1 = 1/|-10/11| = 11/10$ и $T_2 = 1/(15/22) = 22/15$.
$T = \text{НОК}(11/10, 22/15) = \frac{\text{НОК}(11,22)}{\text{НОД}(10,15)} = \frac{22}{5} = 4,4$.
Таким образом, функция $y(x)$ является суммой линейной функции $L(x) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11}$ и периодической функции $P(x)$ с периодом $4,4$.

Ответ: для $y = [\frac{3x}{4}] - [\frac{5x+2}{3}]$ функция является суммой линейной функции $L(x) = -\frac{11}{12}x - \frac{2}{3}$ и периодической функции с периодом $12$. Для $y = [6 - \frac{10x}{11}] + 3[\frac{15x+2}{22}]$ функция является суммой линейной функции $L(x) = \frac{25}{22}x + \frac{69}{11}$ и периодической функции с периодом $4,4$.