Номер 9.37, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.37. Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 8$. На отрезке $[-1; 7]$ она задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } -1 \le x \le 1; \\ x - 2, & \text{если } 1 < x < 5; \\ 8 - x, & \text{если } 5 \le x \le 7. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(40)$, $f(50)$, $f(-65)$.

б) Сколько корней имеет уравнение $f(x) = 0$ на отрезке $[-10; 10]$?

а) Вычислите: f(40), f(50), f(-65).

Функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 8$. Это означает, что $f(x) = f(x + n \cdot T)$ для любого целого числа $n$. Чтобы вычислить значение функции для аргумента, не входящего в основной отрезок $[-1; 7]$, мы можем прибавлять или вычитать периоды, пока не получим аргумент в этом отрезке. Аргумент $x_0$ в основном отрезке, соответствующий $x$, можно найти как $x_0 = x - n \cdot T$.

Вычислим $f(40)$:
Аргумент $x = 40$ находится вне отрезка $[-1; 7]$. Найдем такое целое $n$, чтобы $x_0 = 40 - 8n$ попал в отрезок $[-1; 7]$.
$40 = 5 \cdot 8 + 0$. Выберем $n=5$.
$f(40) = f(40 - 5 \cdot 8) = f(0)$.
Для $x = 0$ используем первую часть определения функции: $-1 \le 0 \le 1$, следовательно $f(x) = -x$.
$f(0) = -0 = 0$.
Таким образом, $f(40) = 0$.

Вычислим $f(50)$:
Аргумент $x = 50$ находится вне отрезка $[-1; 7]$.
$50 = 6 \cdot 8 + 2$. Выберем $n=6$.
$f(50) = f(50 - 6 \cdot 8) = f(2)$.
Для $x = 2$ используем вторую часть определения функции: $1 < 2 < 5$, следовательно $f(x) = x - 2$.
$f(2) = 2 - 2 = 0$.
Таким образом, $f(50) = 0$.

Вычислим $f(-65)$:
Аргумент $x = -65$ находится вне отрезка $[-1; 7]$. Найдем такое целое $n$, чтобы $x_0 = -65 - 8n$ попал в отрезок $[-1; 7]$. Это эквивалентно $x_0 = -65 + k \cdot 8$.
$-65 = -9 \cdot 8 + 7$. Выберем $k=9$.
$f(-65) = f(-65 + 9 \cdot 8) = f(7)$.
Для $x = 7$ используем третью часть определения функции: $5 \le 7 \le 7$, следовательно $f(x) = 8 - x$.
$f(7) = 8 - 7 = 1$.
Таким образом, $f(-65) = 1$.

Ответ: $f(40) = 0, f(50) = 0, f(-65) = 1$.

б) Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [-10; 10]?

Сначала найдем корни уравнения $f(x) = 0$ на основном отрезке $[-1; 7]$. Для этого решим уравнение для каждой из трех частей функции.
1. На отрезке $[-1; 1]$: $f(x) = -x$.
Уравнение $-x = 0$ дает корень $x = 0$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1; 1]$.
2. На интервале $(1; 5)$: $f(x) = x - 2$.
Уравнение $x - 2 = 0$ дает корень $x = 2$. Этот корень принадлежит интервалу $(1; 5)$.
3. На отрезке $[5; 7]$: $f(x) = 8 - x$.
Уравнение $8 - x = 0$ дает корень $x = 8$. Этот корень не принадлежит отрезку $[5; 7]$.

Таким образом, на отрезке $[-1; 7]$ (длина которого равна периоду $T=8$) уравнение $f(x) = 0$ имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Поскольку функция $f(x)$ периодическая с периодом $T = 8$, все ее корни можно найти по формулам:
$x = x_1 + n \cdot T = 0 + 8n = 8n$
$x = x_2 + n \cdot T = 2 + 8n$
где $n$ – любое целое число.

Теперь найдем, сколько из этих корней попадает в заданный отрезок $[-10; 10]$.

Для первой серии корней ($x = 8n$):
$-10 \le 8n \le 10 \implies -\frac{10}{8} \le n \le \frac{10}{8} \implies -1.25 \le n \le 1.25$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x = 8(-1) = -8$.
При $n = 0$, $x = 8(0) = 0$.
При $n = 1$, $x = 8(1) = 8$.
Получаем 3 корня: $-8, 0, 8$.

Для второй серии корней ($x = 2 + 8n$):
$-10 \le 2 + 8n \le 10 \implies -12 \le 8n \le 8 \implies -\frac{12}{8} \le n \le \frac{8}{8} \implies -1.5 \le n \le 1$.
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -1, 0, 1$.
При $n = -1$, $x = 2 + 8(-1) = -6$.
При $n = 0$, $x = 2 + 8(0) = 2$.
При $n = 1$, $x = 2 + 8(1) = 10$.
Получаем еще 3 корня: $-6, 2, 10$.

Все найденные корни ($-8, -6, 0, 2, 8, 10$) различны и принадлежат отрезку $[-10; 10]$.
Общее количество корней равно $3 + 3 = 6$.

Ответ: 6.