Номер 9.35, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.35. Постройте график функции:

а) $y = (\{x\})^2$;

б) $y = \frac{1}{\{x\}}$;

в) $y = \sqrt{\{x\}}$;

г) $y = \frac{\{x\} - 1}{1 - 2\{x\}}$.

Для построения графиков данных функций воспользуемся определением и свойствами функции "дробная часть числа" $y = \{x\}$.

Дробная часть числа $x$ определяется как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Ключевое свойство функции $\{x\}$ — её периодичность с периодом 1. Это означает, что $f(\{x\})$ также будет периодической функцией с периодом 1. Поэтому достаточно построить график на любом промежутке длиной 1, например на $[0, 1)$, и затем повторить этот фрагмент вдоль всей оси $Ox$. На промежутке $[0, 1)$ справедливо равенство $\{x\} = x$.

а) $y = (\{x\})^2$

Данная функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$. На этом промежутке $\{x\} = x$, поэтому функция принимает вид $y = x^2$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх.

На промежутке $[0, 1)$ строим часть параболы $y = x^2$:

• При $x=0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

• При $x \to 1^-$, $y \to (1)^2 = 1$. Так как $x < 1$, то точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая").

Итак, на $[0, 1)$ график — это дуга параболы от точки $(0, 0)$ (включительно) до точки $(1, 1)$ (не включительно).

Поскольку функция периодична, мы повторяем этот фрагмент на каждом промежутке $[n, n+1)$ для любого целого $n$. Это эквивалентно построению графика функции $y = (x-n)^2$ на каждом таком промежутке. В целых точках $x=n$, значение функции всегда $y = (\{n\})^2 = 0^2 = 0$.

Ответ: График функции представляет собой бесконечную последовательность одинаковых дуг параболы. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это дуга параболы $y=(x-n)^2$, начинающаяся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающаяся в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

б) $y = \frac{1}{\{x\}}$

Область определения функции задаётся условием $\{x\} \neq 0$, что означает $x$ не может быть целым числом ($x \notin \mathbb{Z}$). Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $(0, 1)$.

На этом промежутке $\{x\} = x$, поэтому функция принимает вид $y = \frac{1}{x}$. Это график гиперболы.

На промежутке $(0, 1)$ строим ветвь гиперболы $y = \frac{1}{x}$:

• При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Прямая $x=0$ (ось $Oy$) является вертикальной асимптотой.

• При $x \to 1^-$, $y \to \frac{1}{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (она "выколотая").

Повторяя этот фрагмент с периодом 1, получаем, что на каждом промежутке $(n, n+1)$ для целого $n$ график будет иметь такой же вид. Прямые $x=n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$ будут вертикальными асимптотами.

Ответ: График функции состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей. На каждом промежутке $(n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это часть гиперболы $y = \frac{1}{x-n}$. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x=n$ (где $y \to +\infty$) и заканчивается в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

в) $y = \sqrt{\{x\}}$

Область определения: $\{x\} \ge 0$, что верно для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$.

На этом промежутке $\{x\} = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график верхней ветви параболы $x=y^2$.

На промежутке $[0, 1)$ строим часть кривой $y = \sqrt{x}$:

• При $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

• При $x \to 1^-$, $y \to \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Повторяем этот фрагмент периодически. На каждом промежутке $[n, n+1)$ график будет совпадать с графиком функции $y = \sqrt{x-n}$. В целых точках $x=n$, имеем $y = \sqrt{\{n\}} = 0$.

Ответ: График функции состоит из бесконечной последовательности одинаковых дуг. На каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) это дуга кривой $y = \sqrt{x-n}$, начинающаяся в точке $(n, 0)$ (включительно) и заканчивающаяся в "выколотой" точке $(n+1, 1)$.

г) $y = \frac{\{x\} - 1}{1 - 2\{x\}}$

Область определения: знаменатель не равен нулю, $1 - 2\{x\} \neq 0$, то есть $\{x\} \neq 1/2$. Это значит, что $x \neq n + 1/2$ для любого $n \in \mathbb{Z}$.

Функция периодична с периодом 1. Рассмотрим её на промежутке $[0, 1)$, исключив точку $x=1/2$. На этом промежутке $\{x\} = x$, и функция имеет вид $y = \frac{x-1}{1-2x}$. Это дробно-линейная функция, её график — гипербола.

Исследуем поведение функции на $[0, 1)$:

• Вертикальная асимптота находится в точке, где знаменатель равен нулю: $1-2x = 0 \Rightarrow x=1/2$.

• При $x=0$, $y = \frac{0-1}{1-0} = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику.

• При $x \to (1/2)^-$, числитель стремится к $-1/2$, а знаменатель $1-2x \to 0^+$. Следовательно, $y \to -\infty$.

• При $x \to (1/2)^+$, числитель стремится к $-1/2$, а знаменатель $1-2x \to 0^-$. Следовательно, $y \to +\infty$.

• При $x \to 1^-$, $y \to \frac{1-1}{1-2} = \frac{0}{-1} = 0$. Точка $(1, 0)$ не принадлежит графику ("выколотая").

Повторяем этот узор на каждом промежутке $[n, n+1)$. Вертикальные асимптоты будут в точках $x=n+1/2$. В целых точках $x=n$, имеем $\{x\}=0$, поэтому $y=\frac{0-1}{1-0}=-1$.

Ответ: График функции имеет вертикальные асимптоты $x=n+1/2$ для всех $n \in \mathbb{Z}$. На каждом промежутке $[n, n+1)$ он состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь на $[n, n+1/2)$ начинается в точке $(n, -1)$ (включительно) и уходит на $-\infty$ при $x \to (n+1/2)^-$. Вторая ветвь на $(n+1/2, n+1)$ уходит от $+\infty$ при $x \to (n+1/2)^+$ и заканчивается в "выколотой" точке $(n+1, 0)$.