Номер 9.28, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.28. Докажите, что 1 — наименьший период функции $y = \{x\}$.

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, которая определяется по формуле $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Доказательство того, что $T=1$ является наименьшим положительным периодом функции, состоит из двух частей.

Часть 1: Докажем, что 1 является периодом функции.

Период $T$ функции $f(x)$ должен удовлетворять равенству $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Проверим это для $f(x) = \{x\}$ и $T=1$.

Нам нужно показать, что $\{x+1\} = \{x\}$.

Используя определение дробной части и свойство целой части $\lfloor z+n \rfloor = \lfloor z \rfloor + n$ для любого действительного $z$ и целого $n$, получаем:

$\{x+1\} = (x+1) - \lfloor x+1 \rfloor = (x+1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x + 1 - \lfloor x \rfloor - 1 = x - \lfloor x \rfloor$.

Поскольку $x - \lfloor x \rfloor = \{x\}$, мы доказали, что $\{x+1\} = \{x\}$ для любого $x$. Следовательно, $1$ является периодом функции $y = \{x\}$.

Часть 2: Докажем, что 1 — наименьший положительный период.

Предположим от противного, что существует положительный период $T'$, который меньше $1$, то есть $0 < T' < 1$.

Если $T'$ — период, то для любого $x$ должно выполняться равенство $\{x + T'\} = \{x\}$.

Возьмём $x=0$. Для этого значения равенство должно быть верным:

$\{0 + T'\} = \{0\}$.

Вычислим обе части равенства.

Правая часть: $\{0\} = 0 - \lfloor 0 \rfloor = 0$.

Левая часть: $\{T'\} = T' - \lfloor T' \rfloor$. Так как по нашему предположению $0 < T' < 1$, то $\lfloor T' \rfloor = 0$. Отсюда следует, что $\{T'\} = T' - 0 = T'$.

Тогда равенство $\{T'\} = \{0\}$ превращается в $T' = 0$.

Полученное равенство $T' = 0$ противоречит нашему исходному предположению, что $T' > 0$.

Следовательно, наше предположение неверно, и не существует положительного периода, меньшего $1$.

Так как $1$ является периодом функции и не существует положительного периода меньше $1$, то $1$ — наименьший положительный период.

Ответ: Что и требовалось доказать.