Номер 9.26, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.26. Пусть $[x]$ — целая часть действительного числа $x$, а $\{x\}$ — дробная часть этого числа (напомним, что, согласно определению, $[x] \in \mathbb{Z}$, $[x] \le x < [x] + 1$, $\{x\} = x - [x]$).

a) Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3; $\frac{35}{53}$; $-\frac{35}{53}$; $\frac{535}{353}$; $-\frac{535}{353}$.

б) Найдите целую и дробную часть числа: $\sqrt{11}$; $\sqrt{11}-2$; $3-\sqrt{11}$; $\pi$; $0,(4)$; $-2,(3)$; $-7,(1)$.

Согласно определению, целая часть числа $x$, обозначаемая $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется как $\{x\} = x - [x]$. Дробная часть всегда удовлетворяет неравенству $0 \le \{x\} < 1$.

Для числа 6: так как 6 — целое число, $[6] = 6$ и $\{6\} = 6 - 6 = 0$.
Ответ: целая часть 6, дробная часть 0.

Для числа -3: так как -3 — целое число, $[-3] = -3$ и $\{-3\} = -3 - (-3) = 0$.
Ответ: целая часть -3, дробная часть 0.

Для числа 5,3: $[5,3] = 5$ и $\{5,3\} = 5,3 - 5 = 0,3$.
Ответ: целая часть 5, дробная часть 0,3.

Для числа -5,3: поскольку $-6 \le -5,3 < -5$, то $[-5,3] = -6$. Дробная часть равна $\{-5,3\} = -5,3 - (-6) = 0,7$.
Ответ: целая часть -6, дробная часть 0,7.

Для числа $\frac{35}{53}$: так как $0 < \frac{35}{53} < 1$, то $[\frac{35}{53}] = 0$ и $\{\frac{35}{53}\} = \frac{35}{53} - 0 = \frac{35}{53}$.
Ответ: целая часть 0, дробная часть $\frac{35}{53}$.

Для числа $-\frac{35}{53}$: так как $-1 < -\frac{35}{53} < 0$, то $[-\frac{35}{53}] = -1$. Дробная часть равна $\{-\frac{35}{53}\} = -\frac{35}{53} - (-1) = 1 - \frac{35}{53} = \frac{18}{53}$.
Ответ: целая часть -1, дробная часть $\frac{18}{53}$.

Для числа $\frac{535}{353}$: $\frac{535}{353} = 1 + \frac{182}{353}$. Таким образом, $[\frac{535}{353}] = 1$ и $\{\frac{535}{353}\} = \frac{182}{353}$.
Ответ: целая часть 1, дробная часть $\frac{182}{353}$.

Для числа $-\frac{535}{353}$: $-\frac{535}{353} = -1\frac{182}{353} \approx -1,515$. Поскольку $-2 \le -1\frac{182}{353} < -1$, то $[-\frac{535}{353}] = -2$. Дробная часть равна $\{-\frac{535}{353}\} = -\frac{535}{353} - (-2) = 2 - \frac{535}{353} = \frac{706 - 535}{353} = \frac{171}{353}$.
Ответ: целая часть -2, дробная часть $\frac{171}{353}$.

Для числа $\sqrt{11}$: так как $3^2=9$ и $4^2=16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Следовательно, $[\sqrt{11}] = 3$ и $\{\sqrt{11}\} = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: целая часть 3, дробная часть $\sqrt{11} - 3$.

Для числа $\sqrt{11} - 2$: из $3 < \sqrt{11} < 4$ следует $1 < \sqrt{11} - 2 < 2$. Следовательно, $[\sqrt{11} - 2] = 1$ и $\{\sqrt{11} - 2\} = (\sqrt{11} - 2) - 1 = \sqrt{11} - 3$.
Ответ: целая часть 1, дробная часть $\sqrt{11} - 3$.

Для числа $3 - \sqrt{11}$: из $3 < \sqrt{11} < 4$ следует $-4 < -\sqrt{11} < -3$, и далее $-1 < 3 - \sqrt{11} < 0$. Следовательно, $[3 - \sqrt{11}] = -1$ и $\{3 - \sqrt{11}\} = (3 - \sqrt{11}) - (-1) = 4 - \sqrt{11}$.
Ответ: целая часть -1, дробная часть $4 - \sqrt{11}$.

Для числа $\pi$: так как $\pi \approx 3,14159...$, то $3 < \pi < 4$. Следовательно, $[\pi] = 3$ и $\{\pi\} = \pi - 3$.
Ответ: целая часть 3, дробная часть $\pi - 3$.

Для числа $0,(4)$: переведем в обыкновенную дробь: $0,(4) = \frac{4}{9}$. Так как $0 < \frac{4}{9} < 1$, то $[0,(4)] = 0$ и $\{0,(4)\} = \frac{4}{9}$.
Ответ: целая часть 0, дробная часть $\frac{4}{9}$.

Для числа $-2,(3)$: $-2,(3) = -(2+0,(3)) = -(2+\frac{1}{3}) = -\frac{7}{3}$. Так как $-3 < -\frac{7}{3} < -2$, то $[-2,(3)] = -3$. Дробная часть равна $\{-2,(3)\} = -\frac{7}{3} - (-3) = \frac{2}{3}$.
Ответ: целая часть -3, дробная часть $\frac{2}{3}$.

Для числа $-7,(1)$: $-7,(1) = -(7+0,(1)) = -(7+\frac{1}{9}) = -\frac{64}{9}$. Так как $-8 < -\frac{64}{9} < -7$, то $[-7,(1)] = -8$. Дробная часть равна $\{-7,(1)\} = -\frac{64}{9} - (-8) = \frac{8}{9}$.
Ответ: целая часть -8, дробная часть $\frac{8}{9}$.