Номер 9.29, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции и определите, является ли функция периодической:

9.29. а) $y = [x];$

б) $y = [x - 2,5];$

в) $y = [2x];$

г) $y = [|x|].$

В задаче используется функция "целая часть числа" (антье), обозначаемая как $y=[x]$. Эта функция для любого действительного числа $x$ находит наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14]=3$, $[5]=5$, $[-1.5]=-2$.

а) $y = [x]$

Построение графика:

График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков единичной длины.

• Если $0 \le x < 1$, то $[x] = 0$, следовательно, $y = 0$.
• Если $1 \le x < 2$, то $[x] = 1$, следовательно, $y = 1$.
• Если $2 \le x < 3$, то $[x] = 2$, следовательно, $y = 2$.
• Если $-1 \le x < 0$, то $[x] = -1$, следовательно, $y = -1$.

В общем виде, для любого целого числа $n$, если $n \le x < n+1$, то значение функции $y=n$. На графике это выглядит как серия горизонтальных отрезков ("ступенек"). Каждая ступенька начинается с закрашенной точки (значение в целой точке) и заканчивается выколотой точкой.

Периодичность:

Функция не является периодической. Определение периодической функции требует, чтобы $f(x+T) = f(x)$ для некоторого периода $T > 0$ и для всех $x$. Для функции $y = [x]$ это условие не выполняется. Например, при $x=0.9$ и любом $T \ge 0.1$, значение $[x+T]$ будет не меньше 1, в то время как $[x]=0$. Поскольку функция является монотонно неубывающей и её значения постоянно растут с ростом $x$, она не может быть периодической.

Ответ: функция не является периодической.

б) $y = [x - 2,5]$

Построение графика:

График функции $y = [x - 2,5]$ можно получить из графика функции $y = [x]$ путем его сдвига вправо вдоль оси абсцисс (Ox) на 2,5 единицы. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$.

Скачки функции (переход на новую "ступеньку") происходят, когда аргумент $x - 2,5$ становится целым числом, то есть $x - 2,5 = n$, где $n$ — целое. Отсюда $x = n + 2,5$.

• Если $2,5 \le x < 3,5$, то $0 \le x-2,5 < 1$, и $y = 0$.
• Если $3,5 \le x < 4,5$, то $1 \le x-2,5 < 2$, и $y = 1$.
• Если $1,5 \le x < 2,5$, то $-1 \le x-2,5 < 0$, и $y = -1$.

График также представляет собой "лесенку", ступеньки которой сдвинуты вправо на 2,5 единицы по сравнению с графиком $y=[x]$.

Периодичность:

Функция не является периодической. Горизонтальный сдвиг непериодической функции $y = [x]$ не делает ее периодической. Рассуждения полностью аналогичны пункту а). Функция монотонно неубывающая и неограниченная.

Ответ: функция не является периодической.

в) $y = [2x]$

Построение графика:

График функции $y = [2x]$ получается из графика функции $y = [x]$ путем его сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это преобразование вида $f(x) \to f(kx)$ при $k>1$.

Скачки функции происходят, когда $2x = n$ (где $n$ — целое), то есть при $x = n/2$. Это означает, что ширина каждой "ступеньки" сократилась вдвое и стала равна $1/2$.

• Если $0 \le x < 0,5$, то $0 \le 2x < 1$, и $y = 0$.
• Если $0,5 \le x < 1$, то $1 \le 2x < 2$, и $y = 1$.
• Если $-0,5 \le x < 0$, то $-1 \le 2x < 0$, и $y = -1$.

График — "лесенка", у которой ступеньки стали в два раза уже, чем у графика $y=[x]$.

Периодичность:

Функция не является периодической. Она, как и $y=[x]$, монотонно неубывающая и неограниченная. Горизонтальное сжатие не может сделать такую функцию периодической.

Ответ: функция не является периодической.

г) $y = [|x|]$

Построение графика:

Данная функция является чётной, так как $y(-x) = [|-x|] = [|x|] = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

Сначала построим график для $x \ge 0$. На этом промежутке $|x| = x$, и функция совпадает с $y = [x]$. Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой часть "лесенки" из пункта а).

Затем, используя свойство чётности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• При $0 \le x < 1$, $y=0$. Из-за симметрии, при $-1 < x < 0$ также $y=0$. Таким образом, $y=0$ для всех $x$ из интервала $(-1, 1)$.
• При $1 \le x < 2$, $y=1$. Из-за симметрии, при $-2 < x \le -1$ также $y=1$.
• При $2 \le x < 3$, $y=2$. Из-за симметрии, при $-3 < x \le -2$ также $y=2$.

График имеет вид симметричной "чаши", сложенной из горизонтальных ступенек, поднимающихся от центра в обе стороны.

Периодичность:

Функция не является периодической. Хотя она и не является монотонной на всей числовой оси, её значения неограниченно возрастают при $x \to +\infty$ и при $x \to -\infty$. Любая периодическая функция, определённая на всей числовой оси, является ограниченной. Поскольку данная функция не ограничена сверху, она не может быть периодической.

Ответ: функция не является периодической.