Номер 9.27, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.27. a) Докажите, что для любого значения x выполняется равенство $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$.

б) Докажите, что для любого значения x выполняются равенства $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.

в) Докажите, что функция $y = \lfloor x \rfloor$ не является периодической.

г) Докажите, что функция $y = \{x\}$ является периодической с периодом 1.

а)

Докажем равенство $[x + 1] = [x] + 1$.
По определению, целая часть числа, обозначаемая $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
Пусть $[x] = n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Из этого определения следует двойное неравенство: $n \le x < n + 1$.
Прибавим ко всем частям этого неравенства 1:
$n + 1 \le x + 1 < (n + 1) + 1$.
Полученное неравенство означает, что наибольшее целое число, не превосходящее $x + 1$, равно $n + 1$.
Следовательно, по определению целой части: $[x + 1] = n + 1$.
Поскольку мы изначально положили, что $n = [x]$, мы можем подставить $[x]$ обратно в равенство:
$[x + 1] = [x] + 1$.
Это равенство справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем равенства $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.
Дробная часть числа $x$, обозначаемая $\{x\}$, определяется через его целую часть по формуле: $\{x\} = x - [x]$.
1. Докажем первое равенство: $\{x + 1\} = \{x\}$.
Воспользуемся определением дробной части для выражения $\{x + 1\}$:
$\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1]$.
Из пункта а) нам известно свойство $[x + 1] = [x] + 1$. Подставим его в наше выражение:
$\{x + 1\} = (x + 1) - ([x] + 1) = x + 1 - [x] - 1 = x - [x]$.
Поскольку $x - [x]$ по определению равно $\{x\}$, мы доказали, что $\{x + 1\} = \{x\}$.
2. Докажем второе равенство: $\{x\} = \{x - 1\}$.
Это можно сделать аналогично, доказав сначала свойство $[x - 1] = [x] - 1$. Пусть $[x] = n$, тогда $n \le x < n+1$. Вычитая 1, получаем $n-1 \le x-1 < n$, откуда следует, что $[x-1]=n-1=[x]-1$.
Теперь применим определение дробной части к $\{x - 1\}$:
$\{x - 1\} = (x - 1) - [x - 1]$.
Подставим доказанное свойство $[x - 1] = [x] - 1$:
$\{x - 1\} = (x - 1) - ([x] - 1) = x - 1 - [x] + 1 = x - [x]$.
Так как $x - [x] = \{x\}$, мы доказали, что $\{x - 1\} = \{x\}$.
Таким образом, оба равенства верны, и справедливо тождество $\{x + 1\} = \{x\} = \{x - 1\}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Докажем, что функция $y = [x]$ не является периодической.
Предположим обратное: пусть функция $f(x) = [x]$ является периодической с некоторым периодом $T > 0$.
По определению периодической функции, для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(x + T) = f(x)$, то есть $[x + T] = [x]$.
Рассмотрим область значений функции $y = [x]$. Она принимает все целочисленные значения, то есть её область значений — это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Это множество не ограничено ни сверху, ни снизу.
С другой стороны, любая не-постоянная периодическая функция имеет ограниченную область значений. Если функция $f(x)$ имеет период $T$, то её область значений совпадает с множеством значений, которые она принимает на любом отрезке длиной $T$, например, на отрезке $[0, T]$.
На отрезке $[0, T]$ функция $y = [x]$ принимает лишь конечное число значений: $0, 1, 2, \dots, [T]$. Это конечное (и, следовательно, ограниченное) множество.
Мы пришли к противоречию: область значений функции $y=[x]$ является бесконечным множеством $\mathbb{Z}$, в то время как у периодической функции она должна быть ограниченной.
Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и функция $y = [x]$ не является периодической.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Докажем, что функция $y = \{x\}$ является периодической с периодом 1.
Чтобы доказать, что функция $f(x) = \{x\}$ является периодической с периодом $T = 1$, необходимо показать, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x + 1) = f(x)$.
То есть, нам нужно доказать тождество $\{x + 1\} = \{x\}$.
Это тождество было полностью доказано в пункте б). Приведем доказательство еще раз:
Используем определение дробной части: $\{x\} = x - [x]$.
Тогда $\{x + 1\} = (x + 1) - [x + 1]$.
Воспользуемся свойством целой части, доказанным в пункте а): $[x + 1] = [x] + 1$.
Подставим это в наше выражение:
$\{x + 1\} = (x + 1) - ([x] + 1) = x + 1 - [x] - 1 = x - [x]$.
Так как $x - [x] = \{x\}$, мы получили равенство $\{x + 1\} = \{x\}$.
Равенство выполняется для всех действительных $x$, следовательно, функция $y = \{x\}$ является периодической, и 1 — один из её периодов.

Ответ: Что и требовалось доказать.