Номер 9.23, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.23. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4 и $f(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6; -2]$. Решите:

а) уравнение $f(x) = -11$;

б) неравенство $f(x) \le -11$;

в) уравнение $f(x) = -10$;

г) неравенство $f(x) > -10$.

Дана периодическая функция $y = f(x)$ с периодом $T=4$. На отрезке $[-6, -2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2 + 8x + 5$. Длина этого отрезка равна $-2 - (-6) = 4$, что совпадает с периодом. Следовательно, поведение функции на этом отрезке полностью определяет ее поведение на всей числовой прямой.

Исследуем функцию $g(x) = x^2 + 8x + 5$ на отрезке $[-6, -2]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4$.

$y_в = g(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 5 = 16 - 32 + 5 = -11$.

Поскольку $x_в = -4$ принадлежит отрезку $[-6, -2]$, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $-11$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-6) = (-6)^2 + 8(-6) + 5 = 36 - 48 + 5 = -7$.

$f(-2) = (-2)^2 + 8(-2) + 5 = 4 - 16 + 5 = -7$.

Таким образом, область значений функции $f(x)$ — это отрезок $[-11, -7]$.

а) уравнение $f(x) = -11$

Требуется решить уравнение $f(x) = -11$. Как мы выяснили, наименьшее значение функции равно $-11$ и достигается оно в точке вершины параболы. Найдем корень уравнения на основном отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 = -11$

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

$x = -4$

Этот корень принадлежит отрезку $[-6, -2]$. В силу периодичности функции с периодом $T=4$, все решения уравнения можно найти, прибавляя к найденному корню числа, кратные периоду.

Ответ: $x = -4 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) неравенство $f(x) \le -11$

Требуется решить неравенство $f(x) \le -11$. Из анализа функции следует, что ее наименьшее значение равно $-11$. Это означает, что для любого $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge -11$. Следовательно, исходное неравенство $f(x) \le -11$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) = -11$. Решения этого уравнения были найдены в пункте а).

Ответ: $x = -4 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) уравнение $f(x) = -10$

Требуется решить уравнение $f(x) = -10$. Сначала найдем решения на отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 = -10$

$x^2 + 8x + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $15$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$. Оба корня принадлежат отрезку $[-6, -2]$. Используя периодичность функции с периодом $T=4$, получаем две серии решений.

Ответ: $x = -5 + 4k, x = -3 + 4k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) неравенство $f(x) > -10$

Требуется решить неравенство $f(x) > -10$. Рассмотрим его на отрезке $[-6, -2]$:

$x^2 + 8x + 5 > -10$

$x^2 + 8x + 15 > 0$

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$ равны $-5$ и $-3$. Неравенство $y > 0$ выполняется при $x < -5$ или $x > -3$.

Найдем пересечение этого множества с отрезком $[-6, -2]$:

1) $x < -5$ и $x \in [-6, -2]$ $\implies$ $x \in [-6, -5)$.

2) $x > -3$ и $x \in [-6, -2]$ $\implies$ $x \in (-3, -2]$.

Таким образом, на отрезке $[-6, -2]$ решение неравенства есть объединение интервалов $[-6, -5) \cup (-3, -2]$.

Учитывая периодичность функции с периодом $T=4$, обобщаем решение на всю числовую прямую, добавляя $4k$ к границам найденных интервалов.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} ([-6+4k, -5+4k) \cup (-3+4k, -2+4k])$.