Номер 9.16, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.16. a) Функция убывает на всей области своего определения;

б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания;

в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего;

г) функция убывает на интервале $ (3; 11) $.

а) Функция убывает на всей области своего определения
Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $y = -2x + 3$. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция $y=f(x)$ называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Проверим это условие для нашей функции. Возьмем любые $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $x_1 < x_2$. Умножим обе части неравенства на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-2x_1 > -2x_2$. Теперь прибавим к обеим частям число 3: $-2x_1 + 3 > -2x_2 + 3$. Мы получили, что $f(x_1) > f(x_2)$. Так как это верно для любых $x_1 < x_2$, функция $y = -2x + 3$ убывает на всей своей области определения. Это также можно показать с помощью производной. Производная функции $f'(x) = (-2x+3)' = -2$. Поскольку $f'(x) < 0$ для всех значений $x$, функция является строго убывающей на всей числовой прямой.
Ответ: $y = -2x+3$.

б) функция имеет бесконечно много промежутков убывания
Рассмотрим в качестве примера тригонометрическую функцию $y = \cos(x)$. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Промежутки убывания функции — это промежутки, на которых ее производная отрицательна. Найдем производную функции: $y' = (\cos(x))' = -\sin(x)$. Теперь найдем, где производная отрицательна, то есть решим неравенство $-\sin(x) < 0$, что эквивалентно $\sin(x) > 0$. Синус положителен в первой и второй координатных четвертях. Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Поскольку множество целых чисел $\mathbb{Z}$ бесконечно, существует бесконечное количество таких интервалов. Например: при $k=0$ получаем интервал $(0; \pi)$; при $k=1$ получаем интервал $(2\pi; 3\pi)$; при $k=-1$ получаем интервал $(-2\pi; -\pi)$; и так далее. Таким образом, функция $y = \cos(x)$ имеет бесконечно много промежутков убывания.
Ответ: $y = \cos(x)$.

в) функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего
Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $y = x^2 + 5$. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 5)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 5 \ge 5$. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при $x=0$ и равно $y_{min} = 0^2 + 5 = 5$. Наибольшего значения у функции нет, так как при неограниченном увеличении $x$ (или уменьшении до $-\infty$), значение $y$ также неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Область значений функции: $E(y) = [5; +\infty)$. Таким образом, функция $y=x^2+5$ имеет наименьшее значение, равное 5, но не имеет наибольшего значения.
Ответ: $y = x^2 + 5$.

г) функция убывает на интервале (3; 11)
Рассмотрим квадратичную функцию $y = -(x-3)^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(3; 0)$. Для нахождения промежутков убывания воспользуемся производной. $y' = (-(x-3)^2)' = -2(x-3) \cdot (x-3)' = -2(x-3)$. Функция убывает там, где ее производная отрицательна: $y' < 0$. Решим неравенство: $-2(x-3) < 0$. Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства: $x-3 > 0$. $x > 3$. Следовательно, функция $y=-(x-3)^2$ убывает на всем промежутке $(3; +\infty)$. Интервал $(3; 11)$ является подмножеством промежутка $(3; +\infty)$. Если функция убывает на большем промежутке, она убывает и на любой его части. Значит, функция $y = -(x-3)^2$ убывает на интервале $(3; 11)$.
Ответ: $y = -(x-3)^2$.