Номер 9.9, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.9. Докажите:

а) если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — период функции $y = 5f(0,5x + 2) - 1$;

б) если 9 — период функции $y = f(x)$, то 3 — период функции $y = 3 - 1,4f(3x - 7)$;

в) если 2 — период функции $y = f(x)$, то 3 — период функции $y = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$;

г) если 5 — период функции $y = f(x)$, то 1 — период функции $y = 81 - 3f(0,7 - 5x)$.

а)

По определению, если число $T$ является периодом функции $y=f(x)$, то для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

По условию, 3 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+3) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 5f(0,5x + 2) - 1$. Чтобы доказать, что 6 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+6) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+6)$, подставив $x+6$ вместо $x$ в выражение для функции:

$g(x+6) = 5f(0,5(x+6) + 2) - 1$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+6) = 5f(0,5x + 0,5 \cdot 6 + 2) - 1 = 5f(0,5x + 3 + 2) - 1$

Сгруппируем слагаемые в аргументе, чтобы выделить исходный аргумент и период:

$g(x+6) = 5f((0,5x + 2) + 3) - 1$

Пусть $z = 0,5x + 2$. Тогда выражение примет вид $5f(z+3) - 1$.

Так как 3 — период функции $f$, то $f(z+3) = f(z)$. Следовательно:

$5f(z+3) - 1 = 5f(z) - 1$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив обратно $z = 0,5x + 2$:

$5f(0,5x + 2) - 1$

Это выражение в точности совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+6) = g(x)$, а значит, 6 — период функции $y = 5f(0,5x + 2) - 1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

По условию, 9 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+9) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 3 - 1,4f(3x - 7)$. Чтобы доказать, что 3 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+3) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+3)$, подставив $x+3$ вместо $x$:

$g(x+3) = 3 - 1,4f(3(x+3) - 7)$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+3) = 3 - 1,4f(3x + 3 \cdot 3 - 7) = 3 - 1,4f(3x + 9 - 7)$

Сгруппируем слагаемые:

$g(x+3) = 3 - 1,4f((3x - 7) + 9)$

Пусть $z = 3x - 7$. Тогда выражение примет вид $3 - 1,4f(z+9)$.

Так как 9 — период функции $f$, то $f(z+9) = f(z)$. Следовательно:

$3 - 1,4f(z+9) = 3 - 1,4f(z)$

Вернемся к переменной $x$, подставив обратно $z = 3x - 7$:

$3 - 1,4f(3x - 7)$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+3) = g(x)$, а значит, 3 — период функции $y = 3 - 1,4f(3x - 7)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

По условию, 2 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+2) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$. Чтобы доказать, что 3 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+3) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+3)$:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2(x+3) - 11}{3}\right) + 7$

Преобразуем аргумент функции $f$:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2x + 6 - 11}{3}\right) + 7 = 100f\left(\frac{2x - 11 + 6}{3}\right) + 7$

Разделим дробь на два слагаемых:

$g(x+3) = 100f\left(\frac{2x - 11}{3} + \frac{6}{3}\right) + 7 = 100f\left(\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 2\right) + 7$

Пусть $z = \frac{2x - 11}{3}$. Тогда выражение примет вид $100f(z+2) + 7$.

Так как 2 — период функции $f$, то $f(z+2) = f(z)$. Следовательно:

$100f(z+2) + 7 = 100f(z) + 7$

Вернемся к переменной $x$:

$100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+3) = g(x)$, а значит, 3 — период функции $y = 100f\left(\frac{2x - 11}{3}\right) + 7$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

По условию, 5 — период функции $y=f(x)$. Это означает, что для любого допустимого значения $z$ выполняется равенство $f(z+5) = f(z)$. Из этого также следует, что $f(z-5) = f(z)$, так как $f(z-5) = f((z-5)+5) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 81 - 3f(0,7 - 5x)$. Чтобы доказать, что 1 является её периодом, необходимо показать, что $g(x+1) = g(x)$.

Найдем значение $g(x+1)$:

$g(x+1) = 81 - 3f(0,7 - 5(x+1))$

Раскроем скобки в аргументе функции $f$:

$g(x+1) = 81 - 3f(0,7 - 5x - 5)$

Сгруппируем слагаемые:

$g(x+1) = 81 - 3f((0,7 - 5x) - 5)$

Пусть $z = 0,7 - 5x$. Тогда выражение примет вид $81 - 3f(z-5)$.

Так как 5 — период функции $f$, то $f(z-5) = f(z)$. Следовательно:

$81 - 3f(z-5) = 81 - 3f(z)$

Вернемся к переменной $x$:

$81 - 3f(0,7 - 5x)$

Это выражение совпадает с исходной функцией $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+1) = g(x)$, а значит, 1 — период функции $y = 81 - 3f(0,7 - 5x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.