Номер 9.10, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.10. Докажите, что если период функции $y = f(x)$ равен $T$, то

а) период функции $y = k \cdot f(x + a) + b$ $(k \neq 0)$ равен $T$;

б) период функции $y = kf(px + a) + b$ $(pk \neq 0)$ равен $\frac{T}{|p|}$.

Пусть дана функция $g(x) = k \cdot f(x+a) + b$, где $k \ne 0$. По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с основным (наименьшим положительным) периодом $T$. Это означает, что для любого $z$ из области определения функции $f$ выполняется равенство $f(z+T) = f(z)$, и $T$ — наименьшее положительное число с таким свойством.

Рассмотрим значение функции $g(x)$ в точке $x+T$:$g(x+T) = k \cdot f((x+T)+a) + b$.

Перегруппируем слагаемые в аргументе функции $f$:$g(x+T) = k \cdot f((x+a)+T) + b$.

Обозначим $z = x+a$. Тогда выражение принимает вид $k \cdot f(z+T) + b$. Так как $T$ — период функции $f$, то $f(z+T) = f(z)$. Следовательно:$k \cdot f(z+T) + b = k \cdot f(z) + b$.

Подставив обратно $z = x+a$, получаем:$k \cdot f(x+a) + b$, что равно $g(x)$.

Таким образом, мы показали, что $g(x+T) = g(x)$, то есть $T$ является периодом функции $g(x)$.

Теперь докажем, что $T$ — это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_1$ функции $g(x)$ такой, что $0 < T_1 < T$.Тогда по определению периода должно выполняться равенство $g(x+T_1) = g(x)$ для всех $x$:$k \cdot f(x+T_1+a) + b = k \cdot f(x+a) + b$.

Вычтем $b$ из обеих частей и, так как $k \ne 0$, разделим на $k$:$f(x+T_1+a) = f(x+a)$, или $f((x+a)+T_1) = f(x+a)$.

Пусть снова $z = x+a$. Тогда для любого $z$ из области определения $f$ выполняется $f(z+T_1) = f(z)$. Это означает, что $T_1$ является периодом функции $f(x)$.Это противоречит условию, что $T$ — наименьший положительный период функции $f(x)$, так как мы предположили, что $0 < T_1 < T$.Следовательно, наше предположение неверно, и не существует периода, меньшего чем $T$.Значит, $T$ — наименьший положительный период функции $y = k \cdot f(x+a) + b$.

Ответ: Период функции $y = k \cdot f(x + a) + b$ равен $T$.

Пусть дана функция $h(x) = k \cdot f(px+a) + b$, где $pk \ne 0$. По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с основным периодом $T$, то есть $f(z+T) = f(z)$ для любого $z$ из области определения.

Мы хотим доказать, что периодом функции $h(x)$ является число $T_h = \frac{T}{|p|}$.Проверим выполнение равенства $h(x+T_h) = h(x)$.$h(x+T_h) = k \cdot f(p(x+T_h) + a) + b$.

Подставим значение $T_h = \frac{T}{|p|}$:$h(x+\frac{T}{|p|}) = k \cdot f(p(x+\frac{T}{|p|}) + a) + b = k \cdot f(px + p\frac{T}{|p|} + a) + b$.

Рассмотрим выражение $p\frac{T}{|p|}$.Если $p > 0$, то $|p|=p$, и $p\frac{T}{p} = T$.Если $p < 0$, то $|p|=-p$, и $p\frac{T}{-p} = -T$.В обоих случаях $p\frac{T}{|p|} = T \cdot \text{sgn}(p)$, где $\text{sgn}(p)$ — функция знака числа $p$, равная $1$ или $-1$.

Тогда выражение для $h(x+T_h)$ принимает вид:$k \cdot f(px + a + T \cdot \text{sgn}(p)) + b$.

Обозначим $z = px+a$. Так как $T$ — период функции $f$, то $f(z+T) = f(z)$ и $f(z-T) = f(z)$. В общем виде, $f(z+nT)=f(z)$ для любого целого $n$.Поскольку $\text{sgn}(p)$ равно либо $1$, либо $-1$, то $f(z + T \cdot \text{sgn}(p)) = f(z)$.

Следовательно:$k \cdot f(px + a + T \cdot \text{sgn}(p)) + b = k \cdot f(px+a) + b = h(x)$.

Мы показали, что $h(x+\frac{T}{|p|}) = h(x)$, значит $\frac{T}{|p|}$ является периодом функции $h(x)$.

Теперь докажем, что это наименьший положительный период. Предположим, что существует период $T_1$ функции $h(x)$ такой, что $0 < T_1 < \frac{T}{|p|}$.Тогда $h(x+T_1) = h(x)$ для всех $x$:$k \cdot f(p(x+T_1)+a) + b = k \cdot f(px+a) + b$.

Упростим, учитывая, что $k \ne 0$:$f(px + pT_1 + a) = f(px+a)$, или $f((px+a) + pT_1) = f(px+a)$.

Пусть $z = px+a$. Тогда для любого $z$ из области определения $f$ имеем $f(z+pT_1) = f(z)$. Это означает, что число $pT_1$ является периодом функции $f(x)$.

Так как $T$ — основной (наименьший положительный) период функции $f(x)$, то любой ее период должен быть кратен $T$. То есть, $pT_1 = nT$ для некоторого целого числа $n \ne 0$. Отсюда $T_1 = \frac{nT}{p}$.

Поскольку $T_1$ — положительный период, $T_1 > 0$. Возьмем модуль от обеих частей равенства:$T_1 = |\frac{nT}{p}| = \frac{|n|T}{|p|}$.

Наименьшее положительное значение $T_1$ будет при наименьшем натуральном значении $|n|$, то есть при $|n|=1$. Значит, наименьший положительный период функции $h(x)$ равен $\frac{1 \cdot T}{|p|} = \frac{T}{|p|}$.

Это противоречит нашему предположению, что $0 < T_1 < \frac{T}{|p|}$. Следовательно, предположение неверно.Наименьший положительный период функции $y = k \cdot f(px+a) + b$ равен $\frac{T}{|p|}$.

Ответ: Период функции $y = kf(px + a) + b$ равен $\frac{T}{|p|}$.