Номер 9.6, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.6. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 4, заданная для всех действительных значений $x$, причём $f(3) = 5; f(4) = 11; f(5) = 9$ и $f(6) = 0$. Сравните:

a) $f(1)$ и $f(31)$;

б) $f(11)$ и $f(110)$;

в) $f(-17)$ и $f(831)$;

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} - 6)$.

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 4$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + n \cdot T) = f(x)$, то есть $f(x + 4n) = f(x)$.

Нам даны значения функции: $f(3) = 5$, $f(4) = 11$, $f(5) = 9$ и $f(6) = 0$.

Используя свойство периодичности, мы можем найти значения функции для других аргументов. Например, найдем $f(1)$ и $f(2)$:

• $f(1) = f(1 + 4) = f(5) = 9$
• $f(2) = f(2 + 4) = f(6) = 0$

Теперь перейдем к сравнению значений в каждом пункте.

а) f(1) и f(31)

Мы уже установили, что $f(1) = 9$.

Чтобы найти $f(31)$, представим аргумент 31 в виде $x_0 + 4n$, где $x_0$ — точка, в которой значение функции известно. Разделим 31 на период 4: $31 = 7 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(31) = f(3 + 7 \cdot 4) = f(3)$. По условию $f(3) = 5$, значит, $f(31) = 5$.

Сравниваем полученные значения: $f(1) = 9$ и $f(31) = 5$. Так как $9 > 5$, то $f(1) > f(31)$.
Ответ: $f(1) > f(31)$.

б) f(11) и f(110)

Найдем $f(11)$, представив 11 через период 4: $11 = 2 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(11) = f(3 + 2 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Найдем $f(110)$, представив 110 через период 4: $110 = 27 \cdot 4 + 2$. Следовательно, $f(110) = f(2 + 27 \cdot 4) = f(2)$. Ранее мы нашли, что $f(2) = 0$, значит, $f(110) = 0$.

Сравниваем полученные значения: $f(11) = 5$ и $f(110) = 0$. Так как $5 > 0$, то $f(11) > f(110)$.
Ответ: $f(11) > f(110)$.

в) f(-17) и f(831)

Найдем $f(-17)$. Представим -17 через период 4: $-17 = -5 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(-17) = f(3 - 5 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Найдем $f(831)$. Представим 831 через период 4: $831 = 207 \cdot 4 + 3$. Следовательно, $f(831) = f(3 + 207 \cdot 4) = f(3) = 5$.

Сравниваем полученные значения: $f(-17) = 5$ и $f(831) = 5$. Так как $5 = 5$, то $f(-17) = f(831)$.
Ответ: $f(-17) = f(831)$.

г) $f(6 + \sqrt[3]{3})$ и $f(\sqrt[3]{3} - 6)$

Рассмотрим аргументы функции: $x_1 = \sqrt[3]{3} - 6$ и $x_2 = 6 + \sqrt[3]{3}$. Найдем разность этих аргументов: $x_2 - x_1 = (6 + \sqrt[3]{3}) - (\sqrt[3]{3} - 6) = 6 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} + 6 = 12$.

Разность аргументов равна 12. Это число кратно периоду функции $T=4$, так как $12 = 3 \cdot 4$. Таким образом, $x_2 = x_1 + 3 \cdot 4$. Согласно определению периодической функции, $f(x_1 + 3 \cdot 4) = f(x_1)$. Это означает, что $f(x_2) = f(x_1)$, то есть $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} - 6)$.
Ответ: $f(6 + \sqrt[3]{3}) = f(\sqrt[3]{3} - 6)$.