Номер 8.51, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 8. Свойства функций. Глава 2. Числовые функции. ч. 2 - номер 8.51, страница 66.

8.51. Дано уравнение: $5x^2 - 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$. Докажите, что это уравнение имеет не менее двух корней, и найдите сумму всех этих корней.

Исходное уравнение:$5x^2 - 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.Заметим, что левая часть уравнения является четной функцией от $x$, так как $x^2 = (-x)^2$ и $|x| = |-x|$. Обозначим левую часть как $f(x)$. Тогда $f(x) = f(-x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является его корнем.

Докажите, что это уравнение имеет не менее двух корней

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставим $x=1$ в левую часть:$5(1)^2 - 3|1| + \frac{1}{1^2} + \frac{3(1)^2 + 4|1| + 11}{5(1)^2 + 1} = 5 - 3 + 1 + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} = 3 + \frac{18}{6} = 3 + 3 = 6$

Так как левая часть равна правой, $x=1$ является корнем уравнения.Поскольку функция $f(x)$ является четной, $x=-1$ также должен быть корнем. Проверим:$5(-1)^2 - 3|-1| + \frac{1}{(-1)^2} + \frac{3(-1)^2 + 4|-1| + 11}{5(-1)^2 + 1} = 5 - 3 + 1 + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} = 3 + 3 = 6$

Действительно, $x=-1$ тоже является корнем. Таким образом, мы нашли два различных корня: $1$ и $-1$. Это доказывает, что уравнение имеет не менее двух корней.

Ответ: Уравнение имеет корни $x=1$ и $x=-1$, следовательно, оно имеет не менее двух корней.

Найдите сумму всех этих корней

Чтобы найти сумму всех корней, нам необходимо найти все корни уравнения. Сделаем замену $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:$5t^2 - 3t + \frac{1}{t^2} + \frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} = 6$

Мы уже знаем, что $t=|1|=|-1|=1$ является решением этого уравнения. Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их так, чтобы выделить множитель $(t-1)$:$(5t^2 - 5) - (3t - 3) + (\frac{1}{t^2} - 1) + (\frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} - 3) = 0$

Разложим каждую группу на множители:

• $5t^2 - 5 = 5(t^2 - 1) = 5(t-1)(t+1)$
• $-(3t - 3) = -3(t-1)$
• $\frac{1}{t^2} - 1 = \frac{1-t^2}{t^2} = -\frac{(t-1)(t+1)}{t^2}$
• $\frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} - 3 = \frac{3t^2 + 4t + 11 - 3(5t^2 + 1)}{5t^2 + 1} = \frac{3t^2 + 4t + 11 - 15t^2 - 3}{5t^2 + 1} = \frac{-12t^2 + 4t + 8}{5t^2 + 1} = \frac{-4(3t^2 - t - 2)}{5t^2 + 1}$. Корнями квадратного трехчлена $3t^2 - t - 2$ являются $t=1$ и $t=-2/3$, поэтому $3t^2 - t - 2 = (t-1)(3t+2)$. Таким образом, последнее слагаемое равно $\frac{-4(t-1)(3t+2)}{5t^2+1}$.

Подставим разложенные выражения обратно в уравнение:$5(t-1)(t+1) - 3(t-1) - \frac{(t-1)(t+1)}{t^2} - \frac{4(t-1)(3t+2)}{5t^2+1} = 0$

Вынесем общий множитель $(t-1)$ за скобки:$(t-1) \left( 5(t+1) - 3 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{4(3t+2)}{5t^2+1} \right) = 0$

Это уравнение распадается на два:1) $t-1=0 \implies t=1$.2) $5(t+1) - 3 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{4(3t+2)}{5t^2+1} = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Упростим его:$5t+2 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{12t+8}{5t^2+1} = 0$

Приведем к общему знаменателю $t^2(5t^2+1)$:$(5t+2)t^2(5t^2+1) - (t+1)(5t^2+1) - (12t+8)t^2 = 0$$(5t^3+2t^2)(5t^2+1) - (5t^3+5t^2+t+1) - (12t^3+8t^2) = 0$$25t^5+5t^3+10t^4+2t^2 - 5t^3-5t^2-t-1 - 12t^3-8t^2 = 0$

Приведем подобные члены:$25t^5 + 10t^4 - 12t^3 - 11t^2 - t - 1 = 0$

Для нахождения количества положительных корней этого полиномиального уравнения воспользуемся правилом знаков Декарта. Посчитаем количество смен знака в последовательности коэффициентов: $(+25, +10, -12, -11, -1, -1)$. Знак меняется один раз (между $+10$ и $-12$). Это означает, что уравнение имеет ровно один положительный корень. Обозначим этот корень как $t_0$.

Таким образом, уравнение для $t = |x|$ имеет два положительных решения: $t_1 = 1$ и $t_2 = t_0$.Каждое положительное решение для $t$ дает два корня для $x$: $x = t$ и $x = -t$.Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

• Из $t_1=1$ получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
• Из $t_2=t_0$ получаем корни $x_3 = t_0$ и $x_4 = -t_0$.

Сумма всех корней уравнения равна:$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 + (-1) + t_0 + (-t_0) = 0$

Ответ: Сумма всех корней уравнения равна 0.