Номер 8.46, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.46. a) Пусть функция $y = f(x)$ определена на $R$. Докажите, что функция $y = f(x) + f(-x)$ чётная, а функция $y = f(x) - f(-x)$ нечётная.

б) Докажите, что любую функцию, определённую на симметричном множестве, можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

а) Чтобы доказать, что функция является чётной или нечётной, нужно проверить выполнение соответствующих равенств. Функция $y=g(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. Функция $y=h(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$. Область определения $D(f)$ для исходной функции $y=f(x)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, которое является симметричным относительно нуля (если $x \in \mathbb{R}$, то и $-x \in \mathbb{R}$).

1. Докажем, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = g(x)$.
Таким образом, мы получили, что $g(-x) = g(x)$, что и доказывает чётность функции $g(x)$.

2. Докажем, что функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ является нечётной.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x)$.
Вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) - f(x) = -( -f(-x) + f(x) ) = -(f(x) - f(-x)) = -h(x)$.
Таким образом, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$, что и доказывает нечётность функции $h(x)$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть $f(x)$ — произвольная функция, определённая на симметричном множестве $D$. Это означает, что если $x \in D$, то и $-x \in D$. Мы хотим представить $f(x)$ в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$, то есть $f(x) = g(x) + h(x)$.

Основываясь на результатах пункта а), предположим, что искомые функции имеют вид:
$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
$h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Сначала проверим, является ли $g(x)$ чётной, а $h(x)$ нечётной.
Для функции $g(x)$:
$g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x)$.
Так как $g(-x) = g(x)$, функция $g(x)$ является чётной.

Для функции $h(x)$:
$h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x)$.
Так как $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной.

Теперь проверим, равна ли их сумма исходной функции $f(x)$.
$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$.

Таким образом, мы показали, что любую функцию $f(x)$, определённую на симметричном множестве, можно представить в виде суммы чётной функции $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и нечётной функции $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.

Ответ: Утверждение доказано.