Страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.40. Докажите, что функция

$y = \begin{cases} x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x+1} & \text{при } x < 0 \text{ и } x \neq -1; \\ x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1-x} & \text{при } x > 0 \text{ и } x \neq 1 \end{cases}$ — чётная.

Для того чтобы доказать, что функция является чётной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $y(-x) = y(x)$.

Проверим оба условия для заданной функции.

1. Анализ области определения

Область определения $D(y)$ данной функции задана условиями: $x < 0, x \neq -1$ и $x > 0, x \neq 1$. Объединив эти условия, получаем, что область определения состоит из всех действительных чисел, кроме $-1$, $0$ и $1$.

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$.

Данная область определения симметрична относительно нуля. Если некоторое число $x_0$ принадлежит $D(y)$, то $x_0 \neq 0$, $x_0 \neq 1$ и $x_0 \neq -1$. Следовательно, и противоположное ему число $-x_0$ также не равно $0$, $-1$ и $1$, а значит $-x_0 \in D(y)$. Первое условие чётности выполняется.

2. Проверка тождества $y(-x) = y(x)$

Рассмотрим два случая для $x \in D(y)$.

Случай А: $x > 0$ и $x \neq 1$.

В этом случае, согласно определению функции, имеем:

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 - x}$

Теперь найдём значение $y(-x)$. Поскольку $x > 0$, то $-x < 0$. И так как $x \neq 1$, то $-x \neq -1$. Следовательно, для аргумента $-x$ нужно использовать первую формулу из определения функции:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{(-x) + 1}$

Упростим полученное выражение:

$y(-x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 - x}$

Сравнивая выражения для $y(x)$ и $y(-x)$, видим, что они равны: $y(x) = y(-x)$.

Случай Б: $x < 0$ и $x \neq -1$.

В этом случае функция задаётся первой формулой:

$y(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{x + 1}$

Найдём значение $y(-x)$. Поскольку $x < 0$, то $-x > 0$. И так как $x \neq -1$, то $-x \neq 1$. Следовательно, для аргумента $-x$ нужно использовать вторую формулу:

$y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \frac{17}{1 - (-x)}$

Упростим это выражение:

$y(-x) = x^4 - 2x^2 + \frac{17}{1 + x}$

Сравнивая выражения для $y(x)$ и $y(-x)$, снова видим, что они равны: $y(x) = y(-x)$.

Таким образом, для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, и область определения симметрична. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: Функция является чётной, что и требовалось доказать.

8.41. Найдите такое выражение для функции f(x), чтобы функция $y = \begin{cases} f(x) & \text{при } x < 0; \\ \frac{x^2 - 19x}{x^3 + 7} & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$ была нечётной.

Функция $y(x)$ является нечётной, если она определена на симметричной относительно нуля области и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. В данном случае функция определена для всех действительных чисел, что является симметричной областью.

Для того чтобы данная кусочно-заданная функция была нечётной, необходимо найти такое выражение для $f(x)$, которое задает функцию $y(x)$ при $x < 0$.

Рассмотрим произвольное значение $x < 0$. Для такого $x$ по условию $y(x) = f(x)$. Исходя из определения нечётной функции, должно выполняться равенство $y(x) = -y(-x)$. Следовательно, мы можем записать: $f(x) = -y(-x)$.

Поскольку мы выбрали $x < 0$, то $-x$ будет положительным числом ($-x > 0$). Для нахождения значения $y(-x)$ необходимо использовать вторую часть определения функции, которая задана для $x \ge 0$. Подставим в нее $-x$ вместо $x$:

$y(-x) = \frac{(-x)^2 - 19(-x)}{(-x)^3 + 7} = \frac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7}$

Теперь найдем искомое выражение для $f(x)$, используя полученное выражение для $y(-x)$:

$f(x) = -y(-x) = - \left( \frac{x^2 + 19x}{-x^3 + 7} \right) = \frac{-(x^2 + 19x)}{-(x^3 - 7)} = \frac{x^2 + 19x}{x^3 - 7}$

Дополнительно убедимся, что в точке $x=0$ условие нечётности выполняется. Для любой нечётной функции, определённой в нуле, должно быть $y(0)=0$. Проверим это, используя вторую ветвь функции:

$y(0) = \frac{0^2 - 19 \cdot 0}{0^3 + 7} = \frac{0}{7} = 0$.

Условие выполняется, следовательно, найденное выражение для $f(x)$ является верным.

Ответ: $f(x) = \frac{x^2 + 19x}{x^3 - 7}$

8.42. Найдите такое выражение для функции h(x), чтобы функция$y = \begin{cases} x^2 - \sqrt{3 - x} & \text{при } x < 0; \\ h(x) & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$была чётной.

По определению, функция $y(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$. Кроме того, область определения чётной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

Область определения данной функции $y(x)$ состоит из двух частей: $x < 0$ и $x \ge 0$. Вместе они образуют всю числовую ось $(-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно $x=0$.

Для того чтобы функция $y(x)$ была чётной, должно выполняться условие $y(x) = y(-x)$ для всех $x$. Нам нужно найти выражение для $h(x)$, которое определено при $x \ge 0$.

Рассмотрим произвольное значение $x > 0$. В этом случае $-x < 0$. Согласно условию задачи:

• При $x > 0$ значение функции равно $y(x) = h(x)$.
• При $-x < 0$ значение функции вычисляется по первой формуле: $y(-x) = (-x)^2 - \sqrt{3 - (-x)}$.

Упростим выражение для $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^2 - \sqrt{3 - (-x)} = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Из условия чётности $y(x) = y(-x)$ следует, что при $x > 0$:$h(x) = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Теперь рассмотрим случай $x = 0$. При $x = 0$ функция равна $y(0) = h(0)$. Условие чётности $y(0) = y(-0)$ выполняется тривиально. Чтобы функция была "хорошо" определена, естественно потребовать, чтобы найденное нами выражение для $h(x)$ было верно и при $x=0$. Подставим $x=0$ в полученную формулу:$h(0) = 0^2 - \sqrt{3 + 0} = -\sqrt{3}$.Это значение обеспечивает непрерывность функции в точке $x=0$, так как предел слева также равен $-\sqrt{3}$:$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 - \sqrt{3-x}) = 0^2 - \sqrt{3-0} = -\sqrt{3}$.

Таким образом, искомое выражение для функции $h(x)$ при $x \ge 0$ имеет вид:$h(x) = x^2 - \sqrt{3 + x}$.

Ответ: $h(x) = x^2 - \sqrt{3+x}$.

8.43. Пусть функция $y = f(x)$ определена в точке 0. Докажите, что если $y = f(x)$ — нечётная функция, то $f(0) = 0$.

По определению, функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Важным свойством области определения нечётной функции является её симметричность относительно точки $x=0$, то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.

Согласно условию задачи, функция $f(x)$ является нечётной и определена в точке 0. Это означает, что точка $x=0$ принадлежит области определения функции, то есть $0 \in D(f)$.

Поскольку равенство $f(-x) = -f(x)$ справедливо для любого значения $x$ из области определения, оно будет справедливо и при $x=0$. Подставим это значение в равенство:

$f(-0) = -f(0)$

Так как $-0$ это то же самое, что и $0$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$f(0) = -f(0)$

Теперь перенесём $-f(0)$ из правой части уравнения в левую, поменяв знак:

$f(0) + f(0) = 0$

Сложив слагаемые в левой части, получим:

$2 \cdot f(0) = 0$

Разделив обе части уравнения на 2, находим значение $f(0)$:

$f(0) = 0$

Таким образом, мы доказали, что если нечётная функция определена в точке 0, то её значение в этой точке обязательно равно нулю.

Ответ: Утверждение доказано.

8.44. Пусть график нечётной функции $y = f(x)$ пересекает ось абсцисс в 33 точках. Докажите, что $f(0) = 0$.

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График функции пересекает ось абсцисс в точках, где значение функции равно нулю. Такие точки называются корнями (или нулями) функции. По условию, у функции $f(x)$ ровно 33 корня, то есть уравнение $f(x) = 0$ имеет 33 различных решения.

Рассмотрим множество этих корней. Пусть $x_0$ — один из корней функции, то есть $f(x_0) = 0$.

Поскольку функция $f(x)$ нечётная, мы можем записать: $f(-x_0) = -f(x_0)$.

Подставив $f(x_0) = 0$, получаем: $f(-x_0) = -0 = 0$.

Это означает, что если $x_0$ является корнем нечётной функции, то и $-x_0$ также является её корнем.

Таким образом, все ненулевые корни нечётной функции (то есть те, для которых $x_k \ne 0$) можно разбить на пары вида $(x_k, -x_k)$. Следовательно, количество ненулевых корней всегда является чётным числом.

По условию, общее количество корней равно 33. Число 33 — нечётное.

Общее число корней можно представить в виде суммы количества ненулевых корней и количества корней, равных нулю (то есть корня $x=0$). $$ 33 = (\text{количество ненулевых корней}) + (\text{количество корней, равных нулю}) $$

Так как общее число корней (33) нечётно, а количество ненулевых корней чётно, то для выполнения равенства количество корней, равных нулю, должно быть нечётным.

Корень $x=0$ может быть только один. Так как его количество должно быть нечётным, оно не может быть равно нулю, а значит, оно равно 1. Это означает, что $x=0$ является одним из 33 корней функции.

Если $x=0$ — корень функции, то по определению корня $f(0) = 0$.

Ответ: Доказано, что $f(0)=0$.

8.45. Пусть график чётной функции пересекает ось абсцисс в 333 точках. Найдите сумму и произведение абсцисс этих точек.

Пусть $f(x)$ — данная чётная функция. По определению, чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Точки пересечения графика функции с осью абсцисс — это корни уравнения $f(x) = 0$. Пусть $x_0$ является корнем этого уравнения, то есть $f(x_0) = 0$.

Из свойства чётности следует, что $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. Это означает, что если $x_0$ — корень функции, то и $-x_0$ также является её корнем.

Таким образом, все ненулевые корни чётной функции образуют пары противоположных по знаку чисел $(x_k, -x_k)$.

По условию, функция имеет 333 корня. Число 333 — нечётное. Поскольку все ненулевые корни идут парами, их общее количество должно быть чётным. Нечётное общее число корней возможно только в том случае, если один из корней не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, — это $x = 0$. Следовательно, один из корней обязательно равен нулю.

Итак, множество всех абсцисс точек пересечения (корней) состоит из нуля и $333 - 1 = 332$ ненулевых корней. Эти 332 корня разбиваются на $332 / 2 = 166$ пар вида $(a_k, -a_k)$, где $a_k \neq 0$.

Обозначим все 333 корня как $x_1, x_2, \ldots, x_{333}$. Их можно представить в виде множества: $\{0, a_1, -a_1, a_2, -a_2, \ldots, a_{166}, -a_{166}\}$.

Сумма абсцисс

Найдём сумму всех этих корней (абсцисс точек пересечения):
$S = x_1 + x_2 + \dots + x_{333}$
$S = 0 + (a_1 + (-a_1)) + (a_2 + (-a_2)) + \ldots + (a_{166} + (-a_{166}))$
В каждой скобке сумма равна нулю. $S = 0 + 0 + 0 + \ldots + 0 = 0$.

Ответ: 0

Произведение абсцисс

Найдём произведение всех этих корней:
$P = x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_{333}$
$P = 0 \cdot a_1 \cdot (-a_1) \cdot a_2 \cdot (-a_2) \cdot \ldots \cdot a_{166} \cdot (-a_{166})$

Поскольку один из множителей равен нулю, всё произведение также равно нулю.
$P = 0$.

Ответ: 0

8.46. a) Пусть функция $y = f(x)$ определена на $R$. Докажите, что функция $y = f(x) + f(-x)$ чётная, а функция $y = f(x) - f(-x)$ нечётная.

б) Докажите, что любую функцию, определённую на симметричном множестве, можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

а) Чтобы доказать, что функция является чётной или нечётной, нужно проверить выполнение соответствующих равенств. Функция $y=g(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $g(-x) = g(x)$. Функция $y=h(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$. Область определения $D(f)$ для исходной функции $y=f(x)$ — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, которое является симметричным относительно нуля (если $x \in \mathbb{R}$, то и $-x \in \mathbb{R}$).

1. Докажем, что функция $g(x) = f(x) + f(-x)$ является чётной.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x) = g(x)$.
Таким образом, мы получили, что $g(-x) = g(x)$, что и доказывает чётность функции $g(x)$.

2. Докажем, что функция $h(x) = f(x) - f(-x)$ является нечётной.
Найдём значение этой функции в точке $-x$:
$h(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x)$.
Вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) - f(x) = -( -f(-x) + f(x) ) = -(f(x) - f(-x)) = -h(x)$.
Таким образом, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$, что и доказывает нечётность функции $h(x)$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть $f(x)$ — произвольная функция, определённая на симметричном множестве $D$. Это означает, что если $x \in D$, то и $-x \in D$. Мы хотим представить $f(x)$ в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$, то есть $f(x) = g(x) + h(x)$.

Основываясь на результатах пункта а), предположим, что искомые функции имеют вид:
$g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
$h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Сначала проверим, является ли $g(x)$ чётной, а $h(x)$ нечётной.
Для функции $g(x)$:
$g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x)$.
Так как $g(-x) = g(x)$, функция $g(x)$ является чётной.

Для функции $h(x)$:
$h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x)$.
Так как $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной.

Теперь проверим, равна ли их сумма исходной функции $f(x)$.
$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$.

Таким образом, мы показали, что любую функцию $f(x)$, определённую на симметричном множестве, можно представить в виде суммы чётной функции $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и нечётной функции $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.

Ответ: Утверждение доказано.

8.47. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Нечётная функция $y = g(x)$ определена на всей числовой прямой, причём $f(x) = g(x)$ при $x \ge 0$. Вычислите $h(-2)$, где $h(x) = f(x) + g(x)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$. Чётная функция $y = g(x)$ определена на всей числовой прямой, причём $f(x) = g(x)$ при $x \le 0$. Вычислите $h(1)$, где $h(x) = \frac{2f(x) - g(x)}{f(x) + g(x)}$.

а)

Нам необходимо вычислить значение функции $h(x) = f(x) + g(x)$ при $x = -2$.
$h(-2) = f(-2) + g(-2)$.

1. Вычислим значение $f(-2)$.
Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Подставим $x = -2$ в это выражение:
$f(-2) = 2(-2)^2 - 5(-2) + 3 = 2 \cdot 4 + 10 + 3 = 8 + 10 + 3 = 21$.

2. Вычислим значение $g(-2)$.
Из условия известно, что функция $g(x)$ является нечётной. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$.
Следовательно, $g(-2) = -g(2)$.

Чтобы найти $g(2)$, воспользуемся другим условием: $f(x) = g(x)$ при $x \ge 0$.
Поскольку $2 \ge 0$, мы можем утверждать, что $g(2) = f(2)$.
Вычислим $f(2)$:
$f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + 3 = 2 \cdot 4 - 10 + 3 = 8 - 10 + 3 = 1$.

Таким образом, $g(2) = 1$, а значит $g(-2) = -g(2) = -1$.

3. Вычислим $h(-2)$.
Теперь, когда у нас есть значения $f(-2)$ и $g(-2)$, мы можем найти $h(-2)$:
$h(-2) = f(-2) + g(-2) = 21 + (-1) = 20$.

Ответ: 20

б)

Нам необходимо вычислить значение функции $h(x) = \frac{2f(x) - g(x)}{f(x) + g(x)}$ при $x = 1$.
$h(1) = \frac{2f(1) - g(1)}{f(1) + g(1)}$.

1. Вычислим значение $f(1)$.
Дана функция $f(x) = \frac{5x + 1}{x^2 + 1}$. Подставим $x = 1$ в это выражение:
$f(1) = \frac{5(1) + 1}{1^2 + 1} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Вычислим значение $g(1)$.
Из условия известно, что функция $g(x)$ является чётной. Это означает, что для любого $x$ выполняется равенство $g(-x) = g(x)$.
Следовательно, $g(1) = g(-1)$.

Чтобы найти $g(-1)$, воспользуемся другим условием: $f(x) = g(x)$ при $x \le 0$.
Поскольку $-1 \le 0$, мы можем утверждать, что $g(-1) = f(-1)$.
Вычислим $f(-1)$:
$f(-1) = \frac{5(-1) + 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{-5 + 1}{1 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, $g(-1) = -2$, а значит $g(1) = g(-1) = -2$.

3. Вычислим $h(1)$.
Теперь у нас есть значения $f(1) = 3$ и $g(1) = -2$. Подставим их в формулу для $h(1)$:
$h(1) = \frac{2f(1) - g(1)}{f(1) + g(1)} = \frac{2 \cdot 3 - (-2)}{3 + (-2)} = \frac{6 + 2}{3 - 2} = \frac{8}{1} = 8$.

Ответ: 8

8.48. При каком значении параметра $a$ функция

$y = x^2(ax + 2a - 6)$ является:

Данная функция: $y = x^2(ax + 2a - 6)$. Для начала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена: $y(x) = ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Область определения данной функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством относительно нуля. Это необходимое условие для исследования функции на четность и нечетность.

а) чётной;

Функция $y(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Найдём $y(-x)$: $y(-x) = a(-x)^3 + (2a - 6)(-x)^2 = -ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Теперь приравняем $y(-x)$ к $y(x)$: $-ax^3 + (2a - 6)x^2 = ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Перенесем все члены в одну сторону и упростим: $-ax^3 - ax^3 + (2a - 6)x^2 - (2a - 6)x^2 = 0$ $-2ax^3 = 0$.

Данное уравнение будет верным для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x^3$ равен нулю (так как $x^3$ не всегда равно нулю): $-2a = 0$ $a = 0$.

При $a = 0$ функция принимает вид $y(x) = -6x^2$. Эта функция является чётной, так как $y(-x) = -6(-x)^2 = -6x^2 = y(x)$.

Ответ: $a=0$.

б) нечётной?

Функция $y(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.

Мы уже нашли, что $y(-x) = -ax^3 + (2a - 6)x^2$. Теперь найдем $-y(x)$: $-y(x) = -(ax^3 + (2a - 6)x^2) = -ax^3 - (2a - 6)x^2$.

Приравняем $y(-x)$ к $-y(x)$: $-ax^3 + (2a - 6)x^2 = -ax^3 - (2a - 6)x^2$.

Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Упростим его: $(2a - 6)x^2 = -(2a - 6)x^2$ $2(2a - 6)x^2 = 0$.

Данное уравнение будет верным для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x^2$ равен нулю (так как $x^2$ не всегда равно нулю): $2(2a - 6) = 0$ $2a - 6 = 0$ $2a = 6$ $a = 3$.

При $a = 3$ функция принимает вид $y(x) = 3x^3 + (2 \cdot 3 - 6)x^2 = 3x^3$. Эта функция является нечётной, так как $y(-x) = 3(-x)^3 = -3x^3$ и $-y(x) = -(3x^3) = -3x^3$, следовательно $y(-x) = -y(x)$.

Ответ: $a=3$.