Номер 8.48, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.48. При каком значении параметра $a$ функция

$y = x^2(ax + 2a - 6)$ является:

Данная функция: $y = x^2(ax + 2a - 6)$. Для начала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена: $y(x) = ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Область определения данной функции — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством относительно нуля. Это необходимое условие для исследования функции на четность и нечетность.

а) чётной;

Функция $y(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Найдём $y(-x)$: $y(-x) = a(-x)^3 + (2a - 6)(-x)^2 = -ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Теперь приравняем $y(-x)$ к $y(x)$: $-ax^3 + (2a - 6)x^2 = ax^3 + (2a - 6)x^2$.

Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Перенесем все члены в одну сторону и упростим: $-ax^3 - ax^3 + (2a - 6)x^2 - (2a - 6)x^2 = 0$ $-2ax^3 = 0$.

Данное уравнение будет верным для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x^3$ равен нулю (так как $x^3$ не всегда равно нулю): $-2a = 0$ $a = 0$.

При $a = 0$ функция принимает вид $y(x) = -6x^2$. Эта функция является чётной, так как $y(-x) = -6(-x)^2 = -6x^2 = y(x)$.

Ответ: $a=0$.

б) нечётной?

Функция $y(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.

Мы уже нашли, что $y(-x) = -ax^3 + (2a - 6)x^2$. Теперь найдем $-y(x)$: $-y(x) = -(ax^3 + (2a - 6)x^2) = -ax^3 - (2a - 6)x^2$.

Приравняем $y(-x)$ к $-y(x)$: $-ax^3 + (2a - 6)x^2 = -ax^3 - (2a - 6)x^2$.

Это равенство должно выполняться для всех значений $x$. Упростим его: $(2a - 6)x^2 = -(2a - 6)x^2$ $2(2a - 6)x^2 = 0$.

Данное уравнение будет верным для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x^2$ равен нулю (так как $x^2$ не всегда равно нулю): $2(2a - 6) = 0$ $2a - 6 = 0$ $2a = 6$ $a = 3$.

При $a = 3$ функция принимает вид $y(x) = 3x^3 + (2 \cdot 3 - 6)x^2 = 3x^3$. Эта функция является нечётной, так как $y(-x) = 3(-x)^3 = -3x^3$ и $-y(x) = -(3x^3) = -3x^3$, следовательно $y(-x) = -y(x)$.

Ответ: $a=3$.