Номер 9.3, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.3. Может ли областью определения периодической функции быть:

а) отрезок;

б) интервал;

в) луч;

г) множество целых чисел?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением периодической функции. Функция $f(x)$ с областью определения $D(f)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x \in D(f)$ выполняются два условия:
1) Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2) Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Ключевым для данного вопроса является первое условие. Оно означает, что область определения периодической функции должна быть инвариантна относительно сдвигов на величину периода $T$ как вправо, так и влево. То есть, если точка $x$ принадлежит области определения, то и вся бесконечная последовательность точек ..., $x-2T$, $x-T$, $x$, $x+T$, $x+2T$, ... также должна ей принадлежать.

а) отрезок

Нет, не может. Пусть область определения функции $f(x)$ — это отрезок $[a, b]$, и пусть функция имеет период $T > 0$. Возьмем правую граничную точку отрезка, $x=b$. Так как $b \in [a, b]$, то по определению периодической функции точка $x+T = b+T$ также должна принадлежать области определения. Однако $b+T > b$, следовательно, точка $b+T$ не принадлежит отрезку $[a, b]$. Мы получили противоречие. Аналогичное противоречие возникает, если рассмотреть левую граничную точку $a$ и точку $a-T$. Таким образом, множество, ограниченное с двух сторон, не может быть областью определения периодической функции.

Ответ: нет.

б) интервал

Нет, не может. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Пусть область определения — интервал $(a, b)$. Это множество также ограничено. Возьмем любую точку $x \in (a, b)$. По определению периодической функции, все точки вида $x+nT$ (где $n$ — любое целое число, $T$ — период) должны принадлежать интервалу $(a, b)$. Однако, если $T > 0$, то последовательность точек $x, x+T, x+2T, ...$ является неограниченной сверху. Это означает, что найдется такое натуральное число $n$, что $x+nT \ge b$, то есть точка выйдет за пределы интервала $(a, b)$. Это противоречит определению.

Ответ: нет.

в) луч

Нет, не может. Луч — это множество, ограниченное с одной стороны. Рассмотрим луч вида $[a, +\infty)$. Он ограничен снизу. Пусть функция, определенная на этом луче, имеет период $T > 0$. Возьмем точку $x=a$. По определению, точка $x-T = a-T$ также должна принадлежать области определения. Но $a-T < a$, поэтому точка $a-T$ не принадлежит лучу $[a, +\infty)$. Это противоречие.
Если рассмотреть луч вида $(-\infty, b]$, который ограничен сверху, то для любой точки $x$ из этого луча точка $x+T$ также должна ему принадлежать. Но для точки $x=b$ мы получаем, что $b+T$ должно быть в области определения, однако $b+T > b$, что противоречит условию.

Ответ: нет.

г) множество целых чисел

Да, может. Пусть область определения $D(f)$ — это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Это множество не ограничено ни сверху, ни снизу. Проверим, выполняется ли условие на область определения.
Пусть период $T$ также является целым числом, не равным нулю (например, $T=1$). Для любого целого числа $x \in \mathbb{Z}$ числа $x+T$ и $x-T$ также будут целыми, а значит, будут принадлежать области определения $\mathbb{Z}$. Условие выполнено.
В качестве примера такой функции можно привести функцию, зависящую от четности аргумента. Например, функция $f(n) = (-1)^n$. Ее область определения — $\mathbb{Z}$. Проверим ее периодичность. Возьмем, например, период $T=2$.
$f(n+T) = f(n+2) = (-1)^{n+2} = (-1)^n \cdot (-1)^2 = (-1)^n \cdot 1 = f(n)$.
Равенство $f(n+2) = f(n)$ выполняется для любого целого $n$. Следовательно, эта функция является периодической, и ее область определения — множество целых чисел.

Ответ: да.