Номер 9.5, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.5. Пусть $y = f(x)$ — периодическая функция с периодом 3, заданная для всех действительных значений $x$, причём $f(3) = 7, f(4) = 11, f(17) = 13$ и $f(0,1) = 0$. Вычислите:

а) $f(141); f(-134); f(332); f(-8,9);$

б) $f(17,3) - f(20,3); f(32,(3)) - f(332,(3)); f(0,(1)) - f(-2,(8));$

в) $f(10); f(100); f(111111);$

г) $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1);$

$f(8888...88) - f(2222...22).$

n цифр n цифр

Поскольку функция $y = f(x)$ является периодической с периодом 3, для любого действительного $x$ и целого $n$ выполняется равенство $f(x + 3n) = f(x)$.

Используя данные из условия, найдем значения функции для некоторых базовых аргументов:

• $f(3) = f(0 + 3 \cdot 1) = f(0) = 7$
• $f(4) = f(1 + 3 \cdot 1) = f(1) = 11$
• $f(17) = f(2 + 3 \cdot 5) = f(2) = 13$
• $f(0,1) = 0$ (В условии запятая используется как десятичный разделитель)

Теперь решим каждую из задач.

Для вычисления значений функции от аргументов будем использовать свойство периодичности, находя эквивалентный аргумент в интервале $[0, 3)$.
$f(141)$: Аргумент $141$. Найдем остаток от деления на 3. Сумма цифр $1+4+1=6$, что делится на 3. Значит, $141 = 3 \cdot 47 + 0$. Следовательно, $f(141) = f(0) = 7$.
$f(-134)$: Аргумент $-134$. Представим его в виде $x + 3n$. $-134 = -135 + 1 = 3 \cdot (-45) + 1$. Следовательно, $f(-134) = f(1) = 11$.
$f(332)$: Аргумент $332$. Сумма цифр $3+3+2=8$. Остаток от деления 8 на 3 равен 2. Значит, $332 = 3 \cdot 110 + 2$. Следовательно, $f(332) = f(2) = 13$.
$f(-8,9)$: Аргумент $-8,9$. Представим его в виде $x + 3n$. $-8,9 = -9 + 0,1 = 3 \cdot (-3) + 0,1$. Следовательно, $f(-8,9) = f(0,1) = 0$.
Ответ: 7; 11; 13; 0.

В этом пункте нужно вычислить значения трех выражений.
1) $f(17,3) - f(20,3)$: Аргументы отличаются на $20,3 - 17,3 = 3$. Поскольку 3 - это период функции, $f(20,3) = f(17,3 + 3) = f(17,3)$. Таким образом, $f(17,3) - f(20,3) = f(17,3) - f(17,3) = 0$.
2) $f(32,(3)) - f(332,(3))$: Аргументы $32,(3) = 32 + 1/3$ и $332,(3) = 332 + 1/3$. Их разность равна $(332 + 1/3) - (32 + 1/3) = 300$. Так как $300 = 3 \cdot 100$ (кратна периоду), то $f(332,(3)) = f(32,(3) + 3 \cdot 100) = f(32,(3))$. Следовательно, разность равна $0$.
3) $f(0,(1)) - f(-2,(8))$: Аргументы $0,(1) = 1/9$ и $-2,(8) = -(2 + 8/9) = -26/9$. Их разность равна $1/9 - (-26/9) = 1/9 + 26/9 = 27/9 = 3$. Так как разность аргументов равна периоду, $f(0,(1)) = f(-2,(8) + 3) = f(-2,(8))$. Следовательно, разность равна $0$.
Ответ: 0; 0; 0.

Используем свойство периодичности и признак делимости на 3 (по сумме цифр).
$f(10)$: $10 = 3 \cdot 3 + 1$. Значит, $f(10) = f(1) = 11$.
$f(100)$: $100 = 3 \cdot 33 + 1$. Значит, $f(100) = f(1) = 11$.
$f(111111)$: Сумма цифр числа $111111$ равна $1+1+1+1+1+1=6$. Так как 6 делится на 3, то и само число $111111$ делится на 3. $111111 = 3 \cdot 37037 + 0$. Значит, $f(111111) = f(0) = 7$.
Ответ: 11; 11; 7.

Нужно вычислить произведение $f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot f(15,1) \cdot f(16,1)$.
Рассмотрим множитель $f(15,1)$. Аргумент $15,1 = 15 + 0,1 = 3 \cdot 5 + 0,1$.
Из-за периодичности функции, $f(15,1) = f(0,1 + 3 \cdot 5) = f(0,1)$.
Из условия известно, что $f(0,1) = 0$.
Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, всё произведение равно нулю.
$f(13,1) \cdot f(14,1) \cdot 0 \cdot f(16,1) = 0$.
Ответ: 0.

Обозначим число, состоящее из $n$ цифр 8, как $N_8$, а число из $n$ цифр 2, как $N_2$.
Рассмотрим их разность: $N_8 - N_2 = \underbrace{88...8}_{n\text{ цифр}} - \underbrace{22...2}_{n\text{ цифр}} = \underbrace{66...6}_{n\text{ цифр}}$.
Число $\underbrace{66...6}_{n\text{ цифр}}$ очевидно делится на 3, так как сумма его цифр, $6n$, делится на 3 для любого натурального $n$.
Значит, разность $N_8 - N_2$ можно представить в виде $3k$ для некоторого целого $k$.
Тогда $N_8 = N_2 + 3k$.
Используя свойство периодичности функции, получаем: $f(N_8) = f(N_2 + 3k) = f(N_2)$.
Следовательно, искомая разность равна $f(N_8) - f(N_2) = f(N_2) - f(N_2) = 0$.
Ответ: 0.