Номер 9.11, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.11. Пусть период функции $y = f(x)$ равен $T_1$, а период функции $y = g(x)$ равен $T_2$. Докажите, что период функции $y = h(x)$ равен $T_3$:

а) $T_1 = 2, T_2 = 7, h(x) = 5f(x) - 3g(x), T_3 = 14;$

б) $T_1 = 15, T_2 = 10, h(x) = 8f(x) + 5g(x), T_3 = 30;$

в) $T_1 = 3, T_2 = 13, h(x) = 0.2f(x - 3) - g(x + 11), T_3 = 39;$

г) $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}, T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}, h(x) = 5f(x) - 3g(x), T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}.$

а) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 2$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 7$. Функция $h(x) = 5f(x) - 3g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=14$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = 14$ периодом для функции $h(x)$. Для этого нужно убедиться, что $h(x + T_3) = h(x)$ для любого $x$ из области определения.

$h(x + 14) = 5f(x + 14) - 3g(x + 14)$.

Так как период функции $f(x)$ равен $T_1=2$, то $f(x + 14) = f(x + 7 \cdot 2) = f(x + 7T_1) = f(x)$.

Так как период функции $g(x)$ равен $T_2=7$, то $g(x + 14) = g(x + 2 \cdot 7) = g(x + 2T_2) = g(x)$.

Подставляя эти результаты в выражение для $h(x + 14)$, получаем:

$h(x + 14) = 5f(x) - 3g(x) = h(x)$.

Следовательно, $T_3=14$ является периодом функции $h(x)$.

2. Теперь докажем, что $T_3=14$ является наименьшим положительным периодом. Период линейной комбинации функций является наименьшим общим кратным (НОК) периодов этих функций. Период функции $5f(x)$ совпадает с периодом $f(x)$ и равен $T_1=2$. Период функции $3g(x)$ совпадает с периодом $g(x)$ и равен $T_2=7$.

Найдем НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(2, 7) = 14$.

Поскольку НОК(2, 7) = 14, наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 14. Это совпадает с заданным значением $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 14$.

б) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 15$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 10$. Функция $h(x) = 8f(x) + 5g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=30$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = 30$ периодом для функции $h(x)$.

$h(x + 30) = 8f(x + 30) + 5g(x + 30)$.

Так как $T_1=15$, то $f(x + 30) = f(x + 2 \cdot 15) = f(x + 2T_1) = f(x)$.

Так как $T_2=10$, то $g(x + 30) = g(x + 3 \cdot 10) = g(x + 3T_2) = g(x)$.

Следовательно, $h(x + 30) = 8f(x) + 5g(x) = h(x)$.

Таким образом, $T_3=30$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $h(x)$ равен НОК периодов функций $8f(x)$ и $5g(x)$. Период $8f(x)$ равен $T_1=15$, а период $5g(x)$ равен $T_2=10$.

Найдем НОК($T_1, T_2$):

$T = \text{НОК}(15, 10)$.

Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $10 = 2 \cdot 5$.

$\text{НОК}(15, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 30, что совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 30$.

в) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = 3$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = 13$. Функция $h(x) = 0,2f(x - 3) - g(x + 11)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3=39$.

Доказательство:

Сначала определим периоды слагаемых функции $h(x)$. Период функции $f_1(x) = 0,2f(x-3)$ равен периоду функции $f(x)$, так как умножение на константу и сдвиг аргумента не меняют период. Таким образом, период $f_1(x)$ равен $T_1=3$. Аналогично, период функции $g_1(x) = g(x+11)$ равен периоду функции $g(x)$, то есть $T_2=13$.

1. Проверим, является ли $T_3 = 39$ периодом для функции $h(x)$.

$h(x + 39) = 0,2f((x + 39) - 3) - g((x + 39) + 11) = 0,2f((x - 3) + 39) - g((x + 11) + 39)$.

Для первого слагаемого: $39 = 13 \cdot 3 = 13T_1$. Значит, $f((x - 3) + 39) = f((x-3) + 13T_1) = f(x-3)$.

Для второго слагаемого: $39 = 3 \cdot 13 = 3T_2$. Значит, $g((x + 11) + 39) = g((x+11) + 3T_2) = g(x+11)$.

Следовательно, $h(x + 39) = 0,2f(x-3) - g(x+11) = h(x)$.

Таким образом, $T_3=39$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $h(x)$ равен НОК периодов ее слагаемых, то есть НОК(3, 13).

$T = \text{НОК}(3, 13) = 3 \cdot 13 = 39$, так как 3 и 13 — взаимно простые числа.

Наименьший положительный период функции $h(x)$ равен 39, что совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = 39$.

г) Дано: период функции $y=f(x)$ равен $T_1 = \frac{\sqrt{13}}{15}$, период функции $y=g(x)$ равен $T_2 = \frac{\sqrt{13}}{10}$. Функция $h(x) = 5f(x) - 3g(x)$. Требуется доказать, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Доказательство:

1. Проверим, является ли $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$ периодом для функции $h(x)$. Для этого нужно показать, что $T_3$ является целым кратным для $T_1$ и $T_2$.

Найдем отношение $T_3$ к $T_1$: $\frac{T_3}{T_1} = \frac{\sqrt{13}/5}{\sqrt{13}/15} = \frac{\sqrt{13}}{5} \cdot \frac{15}{\sqrt{13}} = \frac{15}{5} = 3$.

Следовательно, $T_3 = 3T_1$. Поэтому $f(x + T_3) = f(x + 3T_1) = f(x)$.

Найдем отношение $T_3$ к $T_2$: $\frac{T_3}{T_2} = \frac{\sqrt{13}/5}{\sqrt{13}/10} = \frac{\sqrt{13}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{13}} = \frac{10}{5} = 2$.

Следовательно, $T_3 = 2T_2$. Поэтому $g(x + T_3) = g(x + 2T_2) = g(x)$.

Теперь проверим функцию $h(x)$:

$h(x + T_3) = 5f(x + T_3) - 3g(x + T_3) = 5f(x) - 3g(x) = h(x)$.

Таким образом, $T_3$ является периодом функции $h(x)$.

2. Докажем, что это наименьший положительный период. Период $T$ функции $h(x)$ должен быть наименьшим положительным числом, для которого существуют целые числа $k$ и $m$ такие, что $T = k \cdot T_1 = m \cdot T_2$.

$k \cdot \frac{\sqrt{13}}{15} = m \cdot \frac{\sqrt{13}}{10}$.

Разделив обе части на $\sqrt{13}$, получаем: $\frac{k}{15} = \frac{m}{10}$, или $10k = 15m$, что эквивалентно $2k = 3m$.

Наименьшие натуральные числа $k$ и $m$, удовлетворяющие этому равенству, это $k=3$ и $m=2$.

Подставим $k=3$ в выражение для периода: $T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{15} = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Подставим $m=2$ в выражение для периода: $T = 2 \cdot T_2 = 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{10} = \frac{\sqrt{13}}{5}$.

Оба вычисления дают один и тот же результат, который является наименьшим общим кратным для $T_1$ и $T_2$. Этот результат совпадает с $T_3$.

Ответ: Доказано, что период функции $h(x)$ равен $T_3 = \frac{\sqrt{13}}{5}$.