Номер 9.15, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.15. a) Функция имеет шесть нулей;

б) функция не имеет нулей;

в) функция положительна при $x > 3$ и отрицательна при $x \leq 3$;

г) при $x > 3$ функция принимает положительные значения.

а) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы функция имела шесть нулей, уравнение $f(x)=0$ должно иметь ровно шесть различных действительных корней.

Простейший способ построить такую функцию – использовать многочлен. Многочлен, имеющий шесть различных корней $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$, можно записать в виде $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5)(x-x_6)$, где $a$ – любое ненулевое число.

В качестве примера выберем нули $x = -3, -2, -1, 1, 2, 3$. Тогда функция может иметь вид:

$f(x) = (x+3)(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)$

Можно упростить это выражение, перемножив скобки попарно:

$f(x) = (x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$

Эта функция является многочленом шестой степени, и уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно шесть корней: $x = \pm 1$, $x = \pm 2$, $x = \pm 3$.

Ответ: $f(x) = (x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)$.

б) Утверждение, что функция не имеет нулей, означает, что уравнение $f(x)=0$ не имеет решений на всей области определения функции. График такой функции никогда не пересекает и не касается оси абсцисс ($Ox$). Это значит, что функция либо всегда положительна, либо всегда отрицательна.

Примером такой функции может служить квадратичная функция, график которой (парабола) полностью расположен выше или ниже оси $Ox$. Это происходит, когда соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней (дискриминант отрицателен).

Рассмотрим функцию:

$f(x) = x^2 + 1$

Чтобы найти нули этой функции, нужно решить уравнение $x^2 + 1 = 0$. Это уравнение равносильно $x^2 = -1$, которое не имеет действительных корней. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина находится в точке $(0, 1)$, то есть выше оси $Ox$. Таким образом, значения функции всегда строго положительны ($f(x) \ge 1$ для всех $x$), и она не имеет нулей.

Другими примерами могут быть постоянная функция $f(x) = c$ (где $c \neq 0$) или показательная функция $f(x) = 2^x$.

Ответ: $f(x) = x^2+1$.

в) Условие задачи означает, что $f(x) > 0$ для всех $x \in (3, \infty)$ и $f(x) < 0$ для всех $x \in (-\infty, 3]$. В частности, при $x=3$ значение функции должно быть отрицательным: $f(3) < 0$.

Функция меняет знак при переходе через точку $x=3$. Если бы функция была непрерывной, то по теореме о промежуточном значении она должна была бы где-то принять значение ноль. Однако, согласно условию, функция нигде не равна нулю (она либо строго положительна, либо строго отрицательна). Следовательно, функция должна иметь разрыв в точке $x=3$.

Простейший способ задать такую функцию — использовать кусочно-заданную функцию. Определим ее по-разному для $x > 3$ и для $x \le 3$. Рассмотрим функцию:

$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x \le 3 \end{cases}$

Проверим выполнение условий. Если $x > 3$, значение функции равно $1$, что является положительным числом. Если $x \le 3$, значение функции равно $-1$, что является отрицательным числом. Оба условия выполнены. Данная функция имеет разрыв (скачок) в точке $x=3$.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 3 \\ -1, & \text{если } x \le 3 \end{cases}$.

г) Условие задачи состоит в том, что $f(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(3, \infty)$. Поведение функции при $x \le 3$ никак не ограничено: она может быть положительной, отрицательной, равной нулю или не определена.

Существует множество функций, удовлетворяющих этому условию. В качестве примера можно привести линейную функцию:

$f(x) = x-3$

При $x > 3$ разность $x-3$ будет строго положительной. Таким образом, условие выполняется. При $x \le 3$ эта функция неположительна ($f(x) \le 0$), что не противоречит условию.

Другим примером может быть функция $f(x) = (x-3)^2+1$. Это парабола с вершиной в точке $(3, 1)$, ее значения всегда больше или равны 1, следовательно, она положительна при всех $x$, в том числе и при $x > 3$.

Ответ: $f(x) = x-3$.