Номер 9.19, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.19. a) Период функции равен 2 и $f(x) = \frac{1}{x + 2}$ на промежутке

(-1; 1);

б) период функции равен 4 и $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке

(-2; 2];

в) период функции равен 3 и $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ на промежутке

[0; 3);

г) период функции равен 5 и $f(x) = \frac{|x|}{|x| - 1}$ на промежутке

[-2; 3).

а)

По определению, функция $f(x)$ является периодической с периодом $T$, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(x+T)$. В данном случае период $T=2$. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{x+2}$ на промежутке $(-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ мы можем найти значение функции, "сдвинув" аргумент на целое число периодов так, чтобы он попал в заданный промежуток.

Пусть $x$ – произвольное число. Мы ищем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - kT = x - 2k$ принадлежал промежутку $(-1; 1]$.

Запишем это условие в виде двойного неравенства:$-1 < x - 2k \le 1$.

Теперь выразим $k$ из этого неравенства:$x - 1 \le 2k < x + 1$$\frac{x-1}{2} \le k < \frac{x+1}{2}$

Длина этого интервала для $k$ равна $(\frac{x+1}{2}) - (\frac{x-1}{2}) = 1$, поэтому в нем содержится ровно одно целое число. Это число можно однозначно определить с помощью функции «потолок» $\lceil \cdot \rceil$, которая округляет число до ближайшего целого в большую сторону. В данном случае, $k = \lceil \frac{x-1}{2} \rceil$.

Таким образом, для любого $x$ соответствующий ему аргумент $x'$ из основного промежутка $(-1; 1]$ вычисляется по формуле $x' = x - 2k = x - 2 \lceil \frac{x-1}{2} \rceil$.

Значение функции в точке $x$ равно значению функции в точке $x'$. Подставляя выражение для $x'$ в заданную формулу $f(x') = \frac{1}{x'+2}$, получаем общее выражение для периодической функции $f(x)$:

Ответ: $f(x) = \frac{1}{(x - 2 \lceil \frac{x-1}{2} \rceil) + 2}$.

б)

Период функции $T=4$, и на промежутке $(-2; 2]$ она задана как $f(x) = \frac{1}{x}$. Длина этого промежутка $2 - (-2) = 4$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 4k$ попал в промежуток $(-2; 2]$.

Запишем неравенство:$-2 < x - 4k \le 2$.

Выразим $k$:$x - 2 \le 4k < x + 2$$\frac{x-2}{4} \le k < \frac{x+2}{4}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k = \lceil \frac{x-2}{4} \rceil$.

Следовательно, аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 4k = x - 4 \lceil \frac{x-2}{4} \rceil$.

Поскольку $f(x) = f(x')$, а на базовом промежутке $f(x') = \frac{1}{x'}$, получаем итоговую формулу, подставив выражение для $x'$:

Ответ: $f(x) = \frac{1}{x - 4 \lceil \frac{x-2}{4} \rceil}$.

в)

Период функции $T=3$, и на промежутке $[0; 3)$ она задана как $f(x) = \frac{x}{x+2}$. Длина промежутка $3 - 0 = 3$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 3k$ попал в промежуток $[0; 3)$.

Запишем неравенство:$0 \le x - 3k < 3$.

Выразим $k$:$x - 3 < 3k \le x$$\frac{x}{3} - 1 < k \le \frac{x}{3}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, можно найти с помощью функции «целая часть» (пол) $\lfloor \cdot \rfloor$, которая округляет число до ближайшего целого в меньшую сторону: $k = \lfloor \frac{x}{3} \rfloor$.

Аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 3k = x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor$. Это выражение также известно как остаток от деления $x$ на $3$.

Подставляя $x'$ в формулу $f(x') = \frac{x'}{x'+2}$, получаем общее выражение для функции:

Ответ: $f(x) = \frac{x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor}{x - 3 \lfloor \frac{x}{3} \rfloor + 2}$.

г)

Период функции $T=5$, и на промежутке $[-2; 3)$ она задана как $f(x) = \frac{|x|}{|x|-1}$. Длина промежутка $3 - (-2) = 5$ равна периоду.

Для произвольного $x$ найдем такое целое число $k$, чтобы аргумент $x' = x - 5k$ попал в промежуток $[-2; 3)$.

Запишем неравенство:$-2 \le x - 5k < 3$.

Выразим $k$:$x - 3 < 5k \le x + 2$$\frac{x-3}{5} < k \le \frac{x+2}{5}$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k = \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor$.

Аргумент, приведенный к основному промежутку, равен $x' = x - 5k = x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor$.

Подставляя $x'$ в формулу $f(x') = \frac{|x'|}{|x'|-1}$, получаем общее выражение для функции:

Ответ: $f(x) = \frac{|x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor|}{|x - 5 \lfloor \frac{x+2}{5} \rfloor| - 1}$.