Номер 9.13, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.13. Пусть для любого $x$ из области определения функции $y = f(x)$ выполняются равенства $f(x - 3) = f(x + 3) = f(x)$ и $f(x - 5) = f(x + 5) = f(x)$. Докажите, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$.

Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может — объясните почему:

Пусть для любого x из области определения функции y = f(x) выполняются равенства f(x ? 3) = f(x + 3) = f(x) и f(x ? 5) = f(x + 5) = f(x). Докажите, что для любого x из области определения функции выполняется равенство f(x ? 2) = f(x + 2) = f(x).

Из условия $f(x - 3) = f(x + 3) = f(x)$ следует, что функция $y=f(x)$ является периодической с периодом $T_1 = 3$, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+3) = f(x)$.

Аналогично, из условия $f(x - 5) = f(x + 5) = f(x)$ следует, что $T_2 = 5$ также является периодом функции $f(x)$.

Нам нужно доказать, что $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$, то есть что число $2$ также является периодом функции.

Докажем, что $f(x+2) = f(x)$. Так как $T_1 = 3$ — период функции, мы можем прибавить его к аргументу, не изменяя значения функции:$f(x+2) = f((x+2)+3) = f(x+5)$.

Теперь воспользуемся тем, что $T_2 = 5$ — период функции:$f(x+5) = f(x)$.

Таким образом, мы получили, что $f(x+2) = f(x)$.

Докажем, что $f(x-2) = f(x)$. Так как $T_2 = 5$ — период функции, мы можем прибавить его к аргументу:$f(x-2) = f((x-2)+5) = f(x+3)$.

Воспользуемся тем, что $T_1 = 3$ — период функции:$f(x+3) = f(x)$.

Таким образом, мы получили, что $f(x-2) = f(x)$.

Поскольку $f(x+2) = f(x)$ и $f(x-2) = f(x)$, то равенство $f(x - 2) = f(x + 2) = f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения функции, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может — объясните почему:

Да, функция, обладающая указанным свойством, не просто может быть, а является периодической по определению. Сами условия $f(x+3)=f(x)$ и $f(x+5)=f(x)$ означают, что функция является периодической с периодами $3$ и $5$.

Если функция имеет два соизмеримых периода $T_1$ и $T_2$, то их наибольший общий делитель (НОД) также является периодом функции. В данном случае периоды $T_1 = 3$ и $T_2 = 5$ — целые числа. Их наибольший общий делитель НОД$(3, 5) = 1$. Следовательно, число $1$ также является периодом данной функции.

Таким образом, в качестве примера подойдет любая функция, имеющая период $1$.

Пример 1: Непостоянная функция.
Пусть $f(x) = \cos(2\pi x)$. Эта функция имеет основной период $T=1$. Поскольку $3$ и $5$ являются целыми числами, они также являются периодами этой функции. Проверим выполнение исходных условий:

$f(x+3) = \cos(2\pi(x+3)) = \cos(2\pi x + 6\pi) = \cos(2\pi x) = f(x)$.

$f(x+5) = \cos(2\pi(x+5)) = \cos(2\pi x + 10\pi) = \cos(2\pi x) = f(x)$.

Равенства $f(x-3)=f(x)$ и $f(x-5)=f(x)$ также выполняются, так как для любого периода $T$ верно $f(x-T)=f(x)$. Все условия задачи выполнены.

Пример 2: Постоянная функция.
Пусть $f(x) = c$, где $c$ — любая константа. Для этой функции равенства $f(x-3)=f(x+3)=f(x)$ и $f(x-5)=f(x+5)=f(x)$ выполняются тривиально, так как все части равны $c$.

Ответ: Да, может. Например, $f(x) = \cos(2\pi x)$ или $f(x) = c$ (константа).