Номер 9.7, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.7. Является ли функция $y = f(x)$ периодической:

а) $f(x) = 2;$

б) $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 - x^2} - \sqrt{x^4};$

в) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} - 3;$

г) $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}?$

а)
Функция $f(x) = 2$ является константой. Область определения этой функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
По определению, функция $f(x)$ является периодической, если существует такое число $T \ne 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции $f(x) = 2$ имеем:
$f(x) = 2$
$f(x+T) = 2$
Следовательно, равенство $f(x+T) = f(x)$ выполняется для любого $x \in R$ и для любого числа $T$. Это означает, что любое число $T > 0$ является периодом данной функции. Таким образом, функция является периодической.
Ответ: да, является.

б)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 - x^2} - \sqrt{x^4}$.
Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $1 - x^2 \ne 0$, что означает $x \ne 1$ и $x \ne -1$. Выражение под корнем $x^4 \ge 0$ для всех $x$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{1 - x^4}{1 - x^2} = \frac{(1 - x^2)(1 + x^2)}{1 - x^2} = 1 + x^2$ при $x \ne \pm 1$.
Также, $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2| = x^2$.
Подставляя упрощенные части обратно в функцию, получаем:
$f(x) = (1 + x^2) - x^2 = 1$ для всех $x$ из области определения.
Таким образом, мы имеем функцию $f(x) = 1$ с областью определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.
Для того чтобы функция была периодической с периодом $T$, ее область определения также должна быть периодической. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$ и $x-T \in D(f)$.
Предположим, что функция является периодической с некоторым периодом $T > 0$. Возьмем точку $x = -1 - T$. Эта точка принадлежит $D(f)$ для любого $T>0$. Однако, $x+T = (-1-T)+T = -1$, а точка $-1$ не принадлежит области определения $D(f)$.
Так как область определения функции не является периодической ни для какого $T>0$, то и сама функция не может быть периодической.
Ответ: нет, не является.

в)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} - 3$.
Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x - 3 \ne 0$, что означает $x \ne 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Упростим выражение для функции, используя формулу разности квадратов:
$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ при $x \ne 3$.
Подставляя упрощенное выражение, получаем:
$f(x) = (x + 3) - 3 = x$ для всех $x$ из области определения.
Итак, мы имеем функцию $f(x) = x$ с "выколотой" точкой при $x=3$.
Проверим, является ли эта функция периодической. Предположим, что она периодическая с периодом $T > 0$. Тогда для любого $x \in D(f)$ должно выполняться равенство $f(x+T) = f(x)$.
Это означает, что $x+T = x$, что приводит к $T=0$. Но период должен быть строго больше нуля ($T > 0$). Получили противоречие.
Кроме того, как и в предыдущем пункте, область определения $D(f)$ не является периодической. Например, для любого $T>0$ точка $x = 3 - T$ принадлежит $D(f)$, но точка $x+T = 3$ не принадлежит $D(f)$.
Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: нет, не является.

г)
Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1 - x^4}{1 + x^2} + \sqrt{x^4}$.
Найдем область определения функции. Знаменатель $1 + x^2$ всегда положителен ($1 + x^2 \ge 1$), так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю. Выражение под корнем $x^4 \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Упростим выражение для функции. Используем формулу разности квадратов:
$\frac{1 - x^4}{1 + x^2} = \frac{(1 - x^2)(1 + x^2)}{1 + x^2} = 1 - x^2$.
Также, $\sqrt{x^4} = |x^2| = x^2$.
Подставляя упрощенные части, получаем:
$f(x) = (1 - x^2) + x^2 = 1$.
Таким образом, функция $f(x) = 1$ для всех $x \in R$. Это константная функция, определенная на всей числовой оси.
Как и в пункте а), для любой константной функции, определенной на всей числовой прямой, равенство $f(x+T) = f(x)$ ($1 = 1$) выполняется для любого $x$ и любого $T$. Следовательно, любое число $T > 0$ является периодом, и функция является периодической.
Ответ: да, является.