Номер 9.8, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9.8. Докажите:

а) если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — также период данной функции;

б) если 9 — период функции $y = f(x)$, то 9 — период функции $y = 5f(x + 2) - 1$;

в) если 2 — период функции $y = f(x)$, то 8 — также период данной функции;

г) если 5 — период функции $y = f(x)$, то 5 — период функции $y = -3f(2 - x) + 25$.

а) По определению, если число $T$ является периодом функции $f(x)$, то для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Нам дано, что 3 — период функции $y=f(x)$, то есть для любого $x$ из области определения верно $f(x+3) = f(x)$.

Нужно доказать, что 6 также является периодом, то есть что $f(x+6) = f(x)$.

Рассмотрим $f(x+6)$. Мы можем представить аргумент $x+6$ как $(x+3)+3$.

Тогда $f(x+6) = f((x+3)+3)$.

Так как 3 является периодом, то $f(z+3) = f(z)$ для любого аргумента $z$. Если мы возьмем в качестве $z$ выражение $x+3$, то получим $f((x+3)+3) = f(x+3)$.

Из условия мы знаем, что $f(x+3)=f(x)$.

Таким образом, мы построили цепочку равенств: $f(x+6) = f(x+3) = f(x)$.

Это доказывает, что 6 также является периодом функции $y=f(x)$. В общем случае, если $T$ — период функции, то и любое число вида $nT$, где $n$ — целое и не равное нулю число, также является периодом.

Ответ: доказано, что если 3 — период функции $y = f(x)$, то 6 — также период данной функции.

б) По условию, 9 — период функции $y=f(x)$, значит, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+9) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 5f(x+2) - 1$. Чтобы доказать, что 9 является периодом этой функции, нам нужно показать, что $g(x+9) = g(x)$.

Найдем значение функции $g(x)$ в точке $x+9$:

$g(x+9) = 5f((x+9)+2) - 1$

Перегруппируем слагаемые в аргументе функции $f$:

$g(x+9) = 5f((x+2)+9) - 1$

Поскольку 9 является периодом для функции $f$, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z+9) = f(z)$. Пусть $z = x+2$. Тогда $f((x+2)+9) = f(x+2)$.

Подставим это обратно в выражение для $g(x+9)$:

$g(x+9) = 5f(x+2) - 1$

Мы видим, что правая часть этого равенства в точности совпадает с определением функции $g(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x+9) = g(x)$, а значит, 9 является периодом функции $y = 5f(x+2) - 1$.

Ответ: доказано, что если 9 — период функции $y = f(x)$, то 9 — период функции $y = 5f(x+2) - 1$.

в) Данное утверждение аналогично пункту а).

Дано, что 2 — период функции $y=f(x)$, то есть $f(x+2) = f(x)$ для любого $x$ из области определения.

Нужно доказать, что 8 также является периодом, то есть что $f(x+8) = f(x)$.

Используя последовательно определение периода, получаем:

$f(x+8) = f((x+6)+2) = f(x+6) = f((x+4)+2) = f(x+4) = f((x+2)+2) = f(x+2) = f(x)$.

Цепочка равенств показывает, что $f(x+8)=f(x)$, следовательно, 8 также является периодом функции $y=f(x)$.

Ответ: доказано, что если 2 — период функции $y = f(x)$, то 8 — также период данной функции.

г) По условию, 5 — период функции $y=f(x)$, что означает $f(z+5) = f(z)$ для любого $z$ из области определения. Отсюда также следует, что $f(z-5) = f(z)$, так как $f(z-5) = f((z-5)+5) = f(z)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = -3f(2-x) + 25$. Нам нужно доказать, что 5 является периодом этой функции, то есть что $h(x+5) = h(x)$.

Найдем значение функции $h(x)$ в точке $x+5$:

$h(x+5) = -3f(2-(x+5)) + 25$

Упростим выражение в аргументе функции $f$:

$h(x+5) = -3f(2-x-5) + 25 = -3f((2-x)-5) + 25$

Поскольку 5 является периодом для функции $f$, то для любого аргумента $z$ выполняется $f(z-5) = f(z)$. Пусть $z = 2-x$. Тогда $f((2-x)-5) = f(2-x)$.

Подставим полученное выражение обратно:

$h(x+5) = -3f(2-x) + 25$

Правая часть этого равенства совпадает с определением функции $h(x)$.

Таким образом, $h(x+5) = h(x)$, что и доказывает, что 5 является периодом функции $y = -3f(2-x) + 25$.

Ответ: доказано, что если 5 — период функции $y = f(x)$, то 5 — период функции $y = -3f(2-x) + 25$.