Номер 9.4, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 9. Периодические функции. Глава 2. Числовые функции. ч. 2 - номер 9.4, страница 66.

9.4. На рисунке изображена часть графика периодической функции с периодом $T$ на промежутке $I$. Постройте график этой функции на промежутке $I_1$:

а) (рис. 30) $T = 3$, $I = [-1; 2]$, $I_1 = [-4; 8];$

б) (рис. 31) $T = 3$, $I = [1; 4]$, $I_1 = [-3; 10,5];$

в) (рис. 32) $T = 4$, $I = (-3; 1]$, $I_1 = (-5; 11];$

г) (рис. 33) $T = 2$, $I = (0; 2)$, $I_1 = (-3; 6)$.

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

а)

Дана функция $f(x)$ с периодом $T=3$. На рисунке 30 показан ее график на промежутке $I = [-1; 2]$. Длина этого промежутка $2 - (-1) = 3$, что в точности равно периоду. Нам нужно построить график этой функции на промежутке $I_1 = [-4; 8]$.

Для построения графика мы используем свойство периодичности функции: $f(x + nT) = f(x)$ для любого целого $n$. Это означает, что мы можем получить весь график, сдвигая его известный фрагмент вдоль оси $x$ на расстояния, кратные периоду $T=3$.

Исходный фрагмент дан на отрезке $[-1; 2]$. Чтобы покрыть весь отрезок $[-4; 8]$, нам нужно:

1. Сдвинуть исходный фрагмент на один период влево (на $-3$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1-3; 2-3] = [-4; -1]$.

2. Сдвинуть исходный фрагмент на один период вправо (на $3$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1+3; 2+3] = [2; 5]$.

3. Сдвинуть исходный фрагмент на два периода вправо (на $2 \cdot 3 = 6$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1+6; 2+6] = [5; 8]$.

Объединяя эти четыре фрагмента (исходный и три сдвинутых), мы получаем непрерывный график на всем отрезке $[-4; 8]$.

Ответ: График на промежутке $[-4; 8]$ представляет собой четыре последовательно соединенных U-образных сегмента. Минимальные значения функции, равные -1, достигаются в точках $x = -2.5, 0.5, 3.5, 6.5$. Максимальные значения на стыках сегментов, равные 1, достигаются в точках $x = -4, -1, 2, 5, 8$.

б)

Дана функция с периодом $T=3$. На рисунке 31 показан ее график на промежутке $I = [1; 4]$. Длина промежутка $4-1=3$ равна периоду. Точка $(1, -0.5)$ закрашена, а точка $(4, -0.5)$ выколота. Это стандартный способ изображения одного периода функции, определенной на полуинтервале $[1, 4)$. Из свойства периодичности $f(x+T)=f(x)$ следует, что $f(4) = f(1+3) = f(1) = -0.5$.

Для построения графика на промежутке $I_1 = [-3; 10.5]$ будем сдвигать фрагмент с $[1; 4)$ на $nT$, где $n$ — целое число.

Мысленно копируем основной фрагмент графика и размещаем его копии на промежутках: $[-2, 1)$ (сдвиг на $-3$), $[4, 7)$ (сдвиг на $3$), $[7, 10)$ (сдвиг на $6$).

Чтобы покрыть весь интервал $[-3; 10.5]$, нам также понадобятся части сдвинутых графиков. Для промежутка $[-3, -2)$ мы берем часть графика, сдвинутого на $-6$, а для промежутка $[10, 10.5]$ — часть графика, сдвинутого на $9$.

Ответ: График на промежутке $[-3; 10.5]$ состоит из повторяющихся дугообразных фрагментов. Максимумы функции, равные 1.5, находятся в точках $x = -0.5, 2.5, 5.5, 8.5$. В точках $x = 1+3k$ (т.е. $x = -2, 1, 4, 7, 10$) значение функции равно -0.5. Каждая дуга начинается с закрашенной точки $(1+3k, -0.5)$ и визуально заканчивается выколотой точкой $(4+3k, -0.5)$.

в)

Дана функция с периодом $T=4$. На рисунке 32 показан ее график на промежутке $I = (-3; 1]$. Длина промежутка $1 - (-3) = 4$ равна периоду. В точке $x=1$ значение функции $f(1)=1$ (закрашенная точка). В точке $x=-3$ график имеет выколотую точку $(-3, 3)$, что означает, что предел справа $\lim_{x\to-3^+} f(x) = 3$.

Из свойства периодичности $f(x) = f(x+4)$, следует, что $f(-3) = f(-3+4) = f(1) = 1$. Таким образом, в точках вида $x = 1+4k$ для целых $k$ (например, $x = -3, 1, 5, 9, ...$) функция имеет разрывы. В этих точках значение функции равно 1, но предел справа отличается: $\lim_{z\to(1+4k)^+} f(z) = \lim_{z\to(-3+4(k+1))^+} f(z) = \lim_{x\to-3^+} f(x) = 3$.

Строим график на $I_1 = (-5; 11]$ путем периодического повторения данного фрагмента. Мы сдвигаем исходный график на $-4, 4, 8$ и берем соответствующие части, чтобы покрыть весь интервал $(-5; 11]$.

Ответ: График на промежутке $(-5; 11]$ состоит из повторяющихся фрагментов. Минимальные значения, равные -1, достигаются в точках $x = -1, 3, 7, 11$. Левый конец интервала $x=-5$ не включен, но предел справа $\lim_{x\to-5^+} f(x) = -1$. В точках $x=1, 5, 9$ функция имеет разрывы первого рода: $f(x)=1$, а предел справа $\lim_{z\to x^+} f(z) = 3$. В точке $x=-3$ значение функции $f(-3)=1$.

г)

Дана функция с периодом $T=2$. На рисунке 33 показан ее график на промежутке $I = (0; 2)$. Длина промежутка равна периоду. График задан на открытом интервале, что означает, что функция не определена в его концах. Пределы в концах интервала: $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -3$ и $\lim_{x\to 2^-} f(x) = 0$.

В силу периодичности, область определения функции есть объединение интервалов вида $(2k, 2k+2)$ для всех целых $k$. В точках $x=2k$ функция не определена. Для построения графика на $I_1 = (-3; 6)$ мы сдвигаем исходный фрагмент на $-4, -2, 2, 4$.

В результате на промежутке $(-3; 6)$ график будет существовать на объединении интервалов $(-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$.

На каждом интервале $(2k, 2k+2)$ график является копией исходного, сдвинутой на $2k$. Например, на интервале $(2, 4)$ будет максимум в точке $x = 1+2 = 3$. На интервале $(-2, 0)$ будет максимум в точке $x = 1-2 = -1$.

Ответ: График на промежутке $(-3; 6)$ состоит из набора несвязанных между собой кривых. Область определения функции на этом промежутке: $(-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$. Максимальные значения, равные 2, достигаются в точках $x = -1, 1, 3, 5$. В целых четных точках $x=-2, 0, 2, 4$ функция не определена и имеет разрывы. Например, $\lim_{x\to 2^-} f(x) = 0$ и $\lim_{x\to 2^+} f(x) = -3$.