Номер 8.50, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.50. Функция $y = f(x)$ определена на $R$, кроме точек $\pm 1$, причём $f(x - 1) = \frac{a + 6}{x} + x - 1$. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых функция $y = f(x)$ нечётная.

По условию, функция $y = f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, кроме точек $x = \pm 1$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Функция $y = f(x)$ является нечётной, если выполняются два условия:1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Первое условие выполнено, так как область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Для проверки второго условия найдем явный вид функции $f(x)$. Нам дано выражение для $f(x-1)$:$f(x - 1) = \frac{a + 6}{x} + x - 1$.Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - 1$, тогда $x = t + 1$. Подставим это в данное равенство, чтобы выразить функцию через новую переменную $t$:$f(t) = \frac{a + 6}{t + 1} + (t + 1) - 1$$f(t) = \frac{a + 6}{t + 1} + t$.Таким образом, вид исходной функции:$f(x) = \frac{a + 6}{x + 1} + x$.

Теперь воспользуемся свойством нечётности $f(-x) = -f(x)$.Найдем левую часть равенства, $f(-x)$:$f(-x) = \frac{a + 6}{(-x) + 1} + (-x) = \frac{a + 6}{1 - x} - x$.

Найдем правую часть равенства, $-f(x)$:$-f(x) = - \left( \frac{a + 6}{x + 1} + x \right) = -\frac{a + 6}{x + 1} - x$.

Приравняем левую и правую части:$\frac{a + 6}{1 - x} - x = -\frac{a + 6}{x + 1} - x$.

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения $D(f)$.Упростим уравнение, сократив $-x$ в обеих частях:$\frac{a + 6}{1 - x} = -\frac{a + 6}{x + 1}$.Перенесем все слагаемые в одну сторону:$\frac{a + 6}{1 - x} + \frac{a + 6}{x + 1} = 0$.

Вынесем общий множитель $(a+6)$ за скобки:$(a + 6) \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x + 1} \right) = 0$.Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:$\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + (1 - x)}{(1 - x)(x + 1)} = \frac{2}{1 - x^2}$.

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:$(a + 6) \cdot \frac{2}{1 - x^2} = 0$.

Это равенство должно быть верным для всех $x \in D(f)$, то есть для всех $x \neq \pm 1$.Множитель $\frac{2}{1 - x^2}$ не равен нулю ни для какого $x$ из области определения.Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю:$a + 6 = 0$.Отсюда находим искомое значение параметра $a$:$a = -6$.

Ответ: $a = -6$.