Страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.49. Функция $y = f(x)$ определена на $\mathbf{R}$, причём $f(x - 3) = ax^2 + x$. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых функция $y = f(x)$ чётная.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. По условию, функция $f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbf{R}$, которое симметрично относительно нуля.

Нам дано равенство $f(x - 3) = ax^2 + x$. Чтобы найти вид функции $f(x)$, введём новую переменную. Пусть $t = x - 3$. Отсюда выразим $x$: $x = t + 3$.

Теперь подставим выражение для $x$ в исходное равенство:

$f(t) = a(t + 3)^2 + (t + 3)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по степеням $t$:

$f(t) = a(t^2 + 6t + 9) + t + 3$

$f(t) = at^2 + 6at + 9a + t + 3$

$f(t) = at^2 + (6a + 1)t + (9a + 3)$

Мы получили выражение для функции $f(t)$. Заменив в нём $t$ на $x$, получим явный вид функции $f(x)$:

$f(x) = ax^2 + (6a + 1)x + (9a + 3)$

Теперь воспользуемся условием чётности функции: $f(x) = f(-x)$. Найдём выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в полученную формулу:

$f(-x) = a(-x)^2 + (6a + 1)(-x) + (9a + 3)$

$f(-x) = ax^2 - (6a + 1)x + (9a + 3)$

Приравняем выражения для $f(x)$ и $f(-x)$:

$ax^2 + (6a + 1)x + (9a + 3) = ax^2 - (6a + 1)x + (9a + 3)$

Вычтем из обеих частей равенства $ax^2$ и $(9a + 3)$:

$(6a + 1)x = -(6a + 1)x$

Перенесём слагаемое из правой части в левую:

$(6a + 1)x + (6a + 1)x = 0$

$2(6a + 1)x = 0$

Данное равенство должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это возможно только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю.

$2(6a + 1) = 0$

$6a + 1 = 0$

$6a = -1$

$a = -\frac{1}{6}$

Следовательно, функция $y = f(x)$ является чётной только при $a = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.

8.50. Функция $y = f(x)$ определена на $R$, кроме точек $\pm 1$, причём $f(x - 1) = \frac{a + 6}{x} + x - 1$. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых функция $y = f(x)$ нечётная.

По условию, функция $y = f(x)$ определена на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$, кроме точек $x = \pm 1$. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Функция $y = f(x)$ является нечётной, если выполняются два условия:1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Первое условие выполнено, так как область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Для проверки второго условия найдем явный вид функции $f(x)$. Нам дано выражение для $f(x-1)$:$f(x - 1) = \frac{a + 6}{x} + x - 1$.Сделаем замену переменной. Пусть $t = x - 1$, тогда $x = t + 1$. Подставим это в данное равенство, чтобы выразить функцию через новую переменную $t$:$f(t) = \frac{a + 6}{t + 1} + (t + 1) - 1$$f(t) = \frac{a + 6}{t + 1} + t$.Таким образом, вид исходной функции:$f(x) = \frac{a + 6}{x + 1} + x$.

Теперь воспользуемся свойством нечётности $f(-x) = -f(x)$.Найдем левую часть равенства, $f(-x)$:$f(-x) = \frac{a + 6}{(-x) + 1} + (-x) = \frac{a + 6}{1 - x} - x$.

Найдем правую часть равенства, $-f(x)$:$-f(x) = - \left( \frac{a + 6}{x + 1} + x \right) = -\frac{a + 6}{x + 1} - x$.

Приравняем левую и правую части:$\frac{a + 6}{1 - x} - x = -\frac{a + 6}{x + 1} - x$.

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения $D(f)$.Упростим уравнение, сократив $-x$ в обеих частях:$\frac{a + 6}{1 - x} = -\frac{a + 6}{x + 1}$.Перенесем все слагаемые в одну сторону:$\frac{a + 6}{1 - x} + \frac{a + 6}{x + 1} = 0$.

Вынесем общий множитель $(a+6)$ за скобки:$(a + 6) \left( \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x + 1} \right) = 0$.Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:$\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) + (1 - x)}{(1 - x)(x + 1)} = \frac{2}{1 - x^2}$.

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:$(a + 6) \cdot \frac{2}{1 - x^2} = 0$.

Это равенство должно быть верным для всех $x \in D(f)$, то есть для всех $x \neq \pm 1$.Множитель $\frac{2}{1 - x^2}$ не равен нулю ни для какого $x$ из области определения.Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы первый множитель был равен нулю:$a + 6 = 0$.Отсюда находим искомое значение параметра $a$:$a = -6$.

Ответ: $a = -6$.

8.51. Дано уравнение: $5x^2 - 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$. Докажите, что это уравнение имеет не менее двух корней, и найдите сумму всех этих корней.

Исходное уравнение:$5x^2 - 3|x| + \frac{1}{x^2} + \frac{3x^2 + 4|x| + 11}{5x^2 + 1} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.Заметим, что левая часть уравнения является четной функцией от $x$, так как $x^2 = (-x)^2$ и $|x| = |-x|$. Обозначим левую часть как $f(x)$. Тогда $f(x) = f(-x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является его корнем.

Докажите, что это уравнение имеет не менее двух корней

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставим $x=1$ в левую часть:$5(1)^2 - 3|1| + \frac{1}{1^2} + \frac{3(1)^2 + 4|1| + 11}{5(1)^2 + 1} = 5 - 3 + 1 + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} = 3 + \frac{18}{6} = 3 + 3 = 6$

Так как левая часть равна правой, $x=1$ является корнем уравнения.Поскольку функция $f(x)$ является четной, $x=-1$ также должен быть корнем. Проверим:$5(-1)^2 - 3|-1| + \frac{1}{(-1)^2} + \frac{3(-1)^2 + 4|-1| + 11}{5(-1)^2 + 1} = 5 - 3 + 1 + \frac{3 + 4 + 11}{5 + 1} = 3 + 3 = 6$

Действительно, $x=-1$ тоже является корнем. Таким образом, мы нашли два различных корня: $1$ и $-1$. Это доказывает, что уравнение имеет не менее двух корней.

Ответ: Уравнение имеет корни $x=1$ и $x=-1$, следовательно, оно имеет не менее двух корней.

Найдите сумму всех этих корней

Чтобы найти сумму всех корней, нам необходимо найти все корни уравнения. Сделаем замену $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:$5t^2 - 3t + \frac{1}{t^2} + \frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} = 6$

Мы уже знаем, что $t=|1|=|-1|=1$ является решением этого уравнения. Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их так, чтобы выделить множитель $(t-1)$:$(5t^2 - 5) - (3t - 3) + (\frac{1}{t^2} - 1) + (\frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} - 3) = 0$

Разложим каждую группу на множители:

• $5t^2 - 5 = 5(t^2 - 1) = 5(t-1)(t+1)$
• $-(3t - 3) = -3(t-1)$
• $\frac{1}{t^2} - 1 = \frac{1-t^2}{t^2} = -\frac{(t-1)(t+1)}{t^2}$
• $\frac{3t^2 + 4t + 11}{5t^2 + 1} - 3 = \frac{3t^2 + 4t + 11 - 3(5t^2 + 1)}{5t^2 + 1} = \frac{3t^2 + 4t + 11 - 15t^2 - 3}{5t^2 + 1} = \frac{-12t^2 + 4t + 8}{5t^2 + 1} = \frac{-4(3t^2 - t - 2)}{5t^2 + 1}$. Корнями квадратного трехчлена $3t^2 - t - 2$ являются $t=1$ и $t=-2/3$, поэтому $3t^2 - t - 2 = (t-1)(3t+2)$. Таким образом, последнее слагаемое равно $\frac{-4(t-1)(3t+2)}{5t^2+1}$.

Подставим разложенные выражения обратно в уравнение:$5(t-1)(t+1) - 3(t-1) - \frac{(t-1)(t+1)}{t^2} - \frac{4(t-1)(3t+2)}{5t^2+1} = 0$

Вынесем общий множитель $(t-1)$ за скобки:$(t-1) \left( 5(t+1) - 3 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{4(3t+2)}{5t^2+1} \right) = 0$

Это уравнение распадается на два:1) $t-1=0 \implies t=1$.2) $5(t+1) - 3 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{4(3t+2)}{5t^2+1} = 0$.

Рассмотрим второе уравнение. Упростим его:$5t+2 - \frac{t+1}{t^2} - \frac{12t+8}{5t^2+1} = 0$

Приведем к общему знаменателю $t^2(5t^2+1)$:$(5t+2)t^2(5t^2+1) - (t+1)(5t^2+1) - (12t+8)t^2 = 0$$(5t^3+2t^2)(5t^2+1) - (5t^3+5t^2+t+1) - (12t^3+8t^2) = 0$$25t^5+5t^3+10t^4+2t^2 - 5t^3-5t^2-t-1 - 12t^3-8t^2 = 0$

Приведем подобные члены:$25t^5 + 10t^4 - 12t^3 - 11t^2 - t - 1 = 0$

Для нахождения количества положительных корней этого полиномиального уравнения воспользуемся правилом знаков Декарта. Посчитаем количество смен знака в последовательности коэффициентов: $(+25, +10, -12, -11, -1, -1)$. Знак меняется один раз (между $+10$ и $-12$). Это означает, что уравнение имеет ровно один положительный корень. Обозначим этот корень как $t_0$.

Таким образом, уравнение для $t = |x|$ имеет два положительных решения: $t_1 = 1$ и $t_2 = t_0$.Каждое положительное решение для $t$ дает два корня для $x$: $x = t$ и $x = -t$.Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

• Из $t_1=1$ получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
• Из $t_2=t_0$ получаем корни $x_3 = t_0$ и $x_4 = -t_0$.

Сумма всех корней уравнения равна:$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1 + (-1) + t_0 + (-t_0) = 0$

Ответ: Сумма всех корней уравнения равна 0.

9.1. Функция $y = f(x)$ — периодическая, с периодом $T = 2$. Известно, что $f(0)$. Вычислите:

а) $f(2);$

б) $f(-22);$

в) $f(12k + 8)$, где $k$ — некоторое целое число;

г) $f(4 - 8k)$, где $k$ — некоторое целое число.

По определению периодической функции с периодом $T$, для любого целого числа $n$ и любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$.

В данном случае период $T=2$. Нам известно значение функции в точке $x=0$, то есть $f(0)$. Таким образом, для любого целого числа $n$ будет справедливо равенство $f(0 + n \cdot 2) = f(2n) = f(0)$.

Наша задача — проверить, можно ли представить аргументы функции в виде $2n$, где $n$ — целое число.

а) Вычислим $f(2)$.
Аргумент функции равен $2$. Мы можем представить его в виде $2 = 2 \cdot 1$.
Здесь $n=1$, что является целым числом.
Следовательно, $f(2) = f(0 + 2 \cdot 1) = f(0)$.
Ответ: $f(0)$.

б) Вычислим $f(-22)$.
Аргумент функции равен $-22$. Мы можем представить его в виде $-22 = 2 \cdot (-11)$.
Здесь $n=-11$, что является целым числом.
Следовательно, $f(-22) = f(0 + 2 \cdot (-11)) = f(0)$.
Ответ: $f(0)$.

в) Вычислим $f(12k + 8)$, где $k$ — некоторое целое число.
Представим аргумент $12k+8$ в виде произведения числа 2 и некоторого выражения:
$12k + 8 = 2(6k + 4)$.
Так как $k$ — целое число, то и $n = 6k + 4$ является целым числом.
Следовательно, $f(12k + 8) = f(0 + 2 \cdot (6k + 4)) = f(0)$.
Ответ: $f(0)$.

г) Вычислим $f(4 - 8k)$, где $k$ — некоторое целое число.
Представим аргумент $4 - 8k$ в виде произведения числа 2 и некоторого выражения:
$4 - 8k = 2(2 - 4k)$.
Так как $k$ — целое число, то и $n = 2 - 4k$ является целым числом.
Следовательно, $f(4 - 8k) = f(0 + 2 \cdot (2 - 4k)) = f(0)$.
Ответ: $f(0)$.

9.2. Функция $y = f(x)$ — периодическая, с периодом $T = \sqrt{5}$. Известно, что $f(1) = 1$, $f(-1) = 7$. Вычислите:

a) $f(1 + 8\sqrt{5})$;

б) $f(-1 - 22\sqrt{5})$.

По определению периодической функции $f(x)$ с периодом $T$, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$.

В условии задачи дано, что функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = \sqrt{5}$. Также известно, что $f(1) = 1$ и $f(-1) = 7$.

а) Необходимо вычислить $f(1 + 8\sqrt{5})$.

Аргумент функции $1 + 8\sqrt{5}$ можно представить в виде $x_0 + nT$, где $x_0 = 1$, $T = \sqrt{5}$ и $n = 8$. Так как $n=8$ является целым числом, мы можем применить свойство периодичности:

$f(1 + 8\sqrt{5}) = f(1 + 8 \cdot T) = f(1)$.

Согласно условию, $f(1) = 1$, следовательно:

$f(1 + 8\sqrt{5}) = 1$.

Ответ: 1

б) Необходимо вычислить $f(-1 - 22\sqrt{5})$.

Аргумент функции $-1 - 22\sqrt{5}$ можно представить в виде $x_0 + nT$, где $x_0 = -1$, $T = \sqrt{5}$ и $n = -22$. Так как $n=-22$ является целым числом, мы можем применить свойство периодичности:

$f(-1 - 22\sqrt{5}) = f(-1 + (-22) \cdot T) = f(-1)$.

Согласно условию, $f(-1) = 7$, следовательно:

$f(-1 - 22\sqrt{5}) = 7$.

Ответ: 7

9.3. Может ли областью определения периодической функции быть:

а) отрезок;

б) интервал;

в) луч;

г) множество целых чисел?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся определением периодической функции. Функция $f(x)$ с областью определения $D(f)$ называется периодической с периодом $T \neq 0$, если для любого $x \in D(f)$ выполняются два условия:
1) Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2) Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Ключевым для данного вопроса является первое условие. Оно означает, что область определения периодической функции должна быть инвариантна относительно сдвигов на величину периода $T$ как вправо, так и влево. То есть, если точка $x$ принадлежит области определения, то и вся бесконечная последовательность точек ..., $x-2T$, $x-T$, $x$, $x+T$, $x+2T$, ... также должна ей принадлежать.

а) отрезок

Нет, не может. Пусть область определения функции $f(x)$ — это отрезок $[a, b]$, и пусть функция имеет период $T > 0$. Возьмем правую граничную точку отрезка, $x=b$. Так как $b \in [a, b]$, то по определению периодической функции точка $x+T = b+T$ также должна принадлежать области определения. Однако $b+T > b$, следовательно, точка $b+T$ не принадлежит отрезку $[a, b]$. Мы получили противоречие. Аналогичное противоречие возникает, если рассмотреть левую граничную точку $a$ и точку $a-T$. Таким образом, множество, ограниченное с двух сторон, не может быть областью определения периодической функции.

Ответ: нет.

б) интервал

Нет, не может. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Пусть область определения — интервал $(a, b)$. Это множество также ограничено. Возьмем любую точку $x \in (a, b)$. По определению периодической функции, все точки вида $x+nT$ (где $n$ — любое целое число, $T$ — период) должны принадлежать интервалу $(a, b)$. Однако, если $T > 0$, то последовательность точек $x, x+T, x+2T, ...$ является неограниченной сверху. Это означает, что найдется такое натуральное число $n$, что $x+nT \ge b$, то есть точка выйдет за пределы интервала $(a, b)$. Это противоречит определению.

Ответ: нет.

в) луч

Нет, не может. Луч — это множество, ограниченное с одной стороны. Рассмотрим луч вида $[a, +\infty)$. Он ограничен снизу. Пусть функция, определенная на этом луче, имеет период $T > 0$. Возьмем точку $x=a$. По определению, точка $x-T = a-T$ также должна принадлежать области определения. Но $a-T < a$, поэтому точка $a-T$ не принадлежит лучу $[a, +\infty)$. Это противоречие.
Если рассмотреть луч вида $(-\infty, b]$, который ограничен сверху, то для любой точки $x$ из этого луча точка $x+T$ также должна ему принадлежать. Но для точки $x=b$ мы получаем, что $b+T$ должно быть в области определения, однако $b+T > b$, что противоречит условию.

Ответ: нет.

г) множество целых чисел

Да, может. Пусть область определения $D(f)$ — это множество всех целых чисел $\mathbb{Z}$. Это множество не ограничено ни сверху, ни снизу. Проверим, выполняется ли условие на область определения.
Пусть период $T$ также является целым числом, не равным нулю (например, $T=1$). Для любого целого числа $x \in \mathbb{Z}$ числа $x+T$ и $x-T$ также будут целыми, а значит, будут принадлежать области определения $\mathbb{Z}$. Условие выполнено.
В качестве примера такой функции можно привести функцию, зависящую от четности аргумента. Например, функция $f(n) = (-1)^n$. Ее область определения — $\mathbb{Z}$. Проверим ее периодичность. Возьмем, например, период $T=2$.
$f(n+T) = f(n+2) = (-1)^{n+2} = (-1)^n \cdot (-1)^2 = (-1)^n \cdot 1 = f(n)$.
Равенство $f(n+2) = f(n)$ выполняется для любого целого $n$. Следовательно, эта функция является периодической, и ее область определения — множество целых чисел.

Ответ: да.

9.4. На рисунке изображена часть графика периодической функции с периодом $T$ на промежутке $I$. Постройте график этой функции на промежутке $I_1$:

а) (рис. 30) $T = 3$, $I = [-1; 2]$, $I_1 = [-4; 8];$

б) (рис. 31) $T = 3$, $I = [1; 4]$, $I_1 = [-3; 10,5];$

в) (рис. 32) $T = 4$, $I = (-3; 1]$, $I_1 = (-5; 11];$

г) (рис. 33) $T = 2$, $I = (0; 2)$, $I_1 = (-3; 6)$.

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

а)

Дана функция $f(x)$ с периодом $T=3$. На рисунке 30 показан ее график на промежутке $I = [-1; 2]$. Длина этого промежутка $2 - (-1) = 3$, что в точности равно периоду. Нам нужно построить график этой функции на промежутке $I_1 = [-4; 8]$.

Для построения графика мы используем свойство периодичности функции: $f(x + nT) = f(x)$ для любого целого $n$. Это означает, что мы можем получить весь график, сдвигая его известный фрагмент вдоль оси $x$ на расстояния, кратные периоду $T=3$.

Исходный фрагмент дан на отрезке $[-1; 2]$. Чтобы покрыть весь отрезок $[-4; 8]$, нам нужно:

1. Сдвинуть исходный фрагмент на один период влево (на $-3$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1-3; 2-3] = [-4; -1]$.

2. Сдвинуть исходный фрагмент на один период вправо (на $3$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1+3; 2+3] = [2; 5]$.

3. Сдвинуть исходный фрагмент на два периода вправо (на $2 \cdot 3 = 6$). Промежуток $[-1; 2]$ отобразится на промежуток $[-1+6; 2+6] = [5; 8]$.

Объединяя эти четыре фрагмента (исходный и три сдвинутых), мы получаем непрерывный график на всем отрезке $[-4; 8]$.

Ответ: График на промежутке $[-4; 8]$ представляет собой четыре последовательно соединенных U-образных сегмента. Минимальные значения функции, равные -1, достигаются в точках $x = -2.5, 0.5, 3.5, 6.5$. Максимальные значения на стыках сегментов, равные 1, достигаются в точках $x = -4, -1, 2, 5, 8$.

б)

Дана функция с периодом $T=3$. На рисунке 31 показан ее график на промежутке $I = [1; 4]$. Длина промежутка $4-1=3$ равна периоду. Точка $(1, -0.5)$ закрашена, а точка $(4, -0.5)$ выколота. Это стандартный способ изображения одного периода функции, определенной на полуинтервале $[1, 4)$. Из свойства периодичности $f(x+T)=f(x)$ следует, что $f(4) = f(1+3) = f(1) = -0.5$.

Для построения графика на промежутке $I_1 = [-3; 10.5]$ будем сдвигать фрагмент с $[1; 4)$ на $nT$, где $n$ — целое число.

Мысленно копируем основной фрагмент графика и размещаем его копии на промежутках: $[-2, 1)$ (сдвиг на $-3$), $[4, 7)$ (сдвиг на $3$), $[7, 10)$ (сдвиг на $6$).

Чтобы покрыть весь интервал $[-3; 10.5]$, нам также понадобятся части сдвинутых графиков. Для промежутка $[-3, -2)$ мы берем часть графика, сдвинутого на $-6$, а для промежутка $[10, 10.5]$ — часть графика, сдвинутого на $9$.

Ответ: График на промежутке $[-3; 10.5]$ состоит из повторяющихся дугообразных фрагментов. Максимумы функции, равные 1.5, находятся в точках $x = -0.5, 2.5, 5.5, 8.5$. В точках $x = 1+3k$ (т.е. $x = -2, 1, 4, 7, 10$) значение функции равно -0.5. Каждая дуга начинается с закрашенной точки $(1+3k, -0.5)$ и визуально заканчивается выколотой точкой $(4+3k, -0.5)$.

в)

Дана функция с периодом $T=4$. На рисунке 32 показан ее график на промежутке $I = (-3; 1]$. Длина промежутка $1 - (-3) = 4$ равна периоду. В точке $x=1$ значение функции $f(1)=1$ (закрашенная точка). В точке $x=-3$ график имеет выколотую точку $(-3, 3)$, что означает, что предел справа $\lim_{x\to-3^+} f(x) = 3$.

Из свойства периодичности $f(x) = f(x+4)$, следует, что $f(-3) = f(-3+4) = f(1) = 1$. Таким образом, в точках вида $x = 1+4k$ для целых $k$ (например, $x = -3, 1, 5, 9, ...$) функция имеет разрывы. В этих точках значение функции равно 1, но предел справа отличается: $\lim_{z\to(1+4k)^+} f(z) = \lim_{z\to(-3+4(k+1))^+} f(z) = \lim_{x\to-3^+} f(x) = 3$.

Строим график на $I_1 = (-5; 11]$ путем периодического повторения данного фрагмента. Мы сдвигаем исходный график на $-4, 4, 8$ и берем соответствующие части, чтобы покрыть весь интервал $(-5; 11]$.

Ответ: График на промежутке $(-5; 11]$ состоит из повторяющихся фрагментов. Минимальные значения, равные -1, достигаются в точках $x = -1, 3, 7, 11$. Левый конец интервала $x=-5$ не включен, но предел справа $\lim_{x\to-5^+} f(x) = -1$. В точках $x=1, 5, 9$ функция имеет разрывы первого рода: $f(x)=1$, а предел справа $\lim_{z\to x^+} f(z) = 3$. В точке $x=-3$ значение функции $f(-3)=1$.

г)

Дана функция с периодом $T=2$. На рисунке 33 показан ее график на промежутке $I = (0; 2)$. Длина промежутка равна периоду. График задан на открытом интервале, что означает, что функция не определена в его концах. Пределы в концах интервала: $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -3$ и $\lim_{x\to 2^-} f(x) = 0$.

В силу периодичности, область определения функции есть объединение интервалов вида $(2k, 2k+2)$ для всех целых $k$. В точках $x=2k$ функция не определена. Для построения графика на $I_1 = (-3; 6)$ мы сдвигаем исходный фрагмент на $-4, -2, 2, 4$.

В результате на промежутке $(-3; 6)$ график будет существовать на объединении интервалов $(-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$.

На каждом интервале $(2k, 2k+2)$ график является копией исходного, сдвинутой на $2k$. Например, на интервале $(2, 4)$ будет максимум в точке $x = 1+2 = 3$. На интервале $(-2, 0)$ будет максимум в точке $x = 1-2 = -1$.

Ответ: График на промежутке $(-3; 6)$ состоит из набора несвязанных между собой кривых. Область определения функции на этом промежутке: $(-3; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6)$. Максимальные значения, равные 2, достигаются в точках $x = -1, 1, 3, 5$. В целых четных точках $x=-2, 0, 2, 4$ функция не определена и имеет разрывы. Например, $\lim_{x\to 2^-} f(x) = 0$ и $\lim_{x\to 2^+} f(x) = -3$.