Страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.25. Докажите, что если $y = x + \frac{1}{x}$, то:

а) при $x < 0$ $y_{\text{наиб}} = -2$;

б) при $x > 0$ $y_{\text{наим}} = 2$.

Для доказательства данных утверждений мы будем использовать алгебраические преобразования и известное свойство, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

а) при x < 0 y_наиб = -2;

По условию, $x$ является отрицательным числом ($x < 0$). Чтобы упростить анализ, введем новую переменную $z = -x$. Так как $x < 0$, то $z$ будет положительным числом ($z > 0$).

Теперь выразим $y$ через новую переменную $z$:

$y = x + \frac{1}{x} = (-z) + \frac{1}{-z} = -z - \frac{1}{z} = -(z + \frac{1}{z})$.

Наша задача — найти наибольшее значение $y$. Это то же самое, что найти наименьшее значение выражения $z + \frac{1}{z}$ (поскольку $y$ равно этому выражению со знаком минус) при условии, что $z > 0$.

Рассмотрим выражение $z + \frac{1}{z}$ и преобразуем его, выделив полный квадрат:

$z + \frac{1}{z} = (\sqrt{z})^2 - 2 \cdot \sqrt{z} \cdot \frac{1}{\sqrt{z}} + (\frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2 = (\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2$.

Выражение $(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда больше или равно нулю. Следовательно:

$(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 \ge 0$

$(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 + 2 \ge 2$

Таким образом, $z + \frac{1}{z} \ge 2$. Наименьшее значение выражения $z + \frac{1}{z}$ равно 2. Оно достигается, когда $(\sqrt{z} - \frac{1}{\sqrt{z}})^2 = 0$, то есть при $\sqrt{z} = \frac{1}{\sqrt{z}}$, что дает $z = 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $y$. Мы установили, что $y = -(z + \frac{1}{z})$. Так как $z + \frac{1}{z} \ge 2$, то, умножая обе части неравенства на -1 (и меняя знак неравенства), получаем:

$y \le -2$.

Это означает, что наибольшее значение функции $y$ при $x < 0$ равно -2. Оно достигается при $z=1$, что соответствует $x = -z = -1$.

Ответ: $y_{наиб} = -2$.

б) при x > 0 y_наим = 2.

По условию, $x$ является положительным числом ($x > 0$). Мы хотим доказать, что $y = x + \frac{1}{x} \ge 2$.

Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства:

$x + \frac{1}{x} - 2$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

$x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x}$.

Числитель дроби является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{(x-1)^2}{x}$.

Поскольку $x > 0$, знаменатель $x$ положителен. Числитель $(x-1)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$).

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, всегда будет неотрицательной. Следовательно:

$\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$.

Это доказывает, что $x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0$, откуда следует, что $x + \frac{1}{x} \ge 2$.

Наименьшее значение функции $y$ равно 2. Это значение достигается, когда разность равна нулю, то есть когда $(x-1)^2 = 0$, что происходит при $x=1$.

Ответ: $y_{наим} = 2$.

8.26. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 24x - 100:$

a) на отрезке $[-1; 5];$

б) на луче $(-\infty; 0];$

в) на луче $[0; +\infty);$

г) на $\mathbb{R}.$

Заданная функция $y = 3x^2 - 24x - 100$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение (в вершине) и не имеет наибольшего значения на всей числовой прямой.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-24}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

Ордината вершины (и наименьшее значение функции) находится подстановкой $x_в$ в уравнение функции:

$y_в = y(4) = 3(4)^2 - 24(4) - 100 = 3 \cdot 16 - 96 - 100 = 48 - 96 - 100 = -148$.

Вершина параболы находится в точке $(4, -148)$.

а) на отрезке [-1; 5]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке необходимо сравнить значения функции на его концах и в точке вершины, если она принадлежит отрезку. Абсцисса вершины $x_в = 4$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$. Так как это точка минимума параболы, наименьшее значение на отрезке достигается именно в ней: $y_{наим} = y(4) = -148$.

Для нахождения наибольшего значения вычислим значения функции на концах отрезка:

$y(-1) = 3(-1)^2 - 24(-1) - 100 = 3 + 24 - 100 = -73$.

$y(5) = 3(5)^2 - 24(5) - 100 = 75 - 120 - 100 = -145$.

Сравнивая значения на концах ($y(-1)=-73$ и $y(5)=-145$), находим, что наибольшее значение равно -73. Таким образом, $y_{наиб} = -73$.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшее значение -73.

б) на луче (??; 0]

Вершина параболы $x_в = 4$ не принадлежит лучу $(-\infty; 0]$. На интервале $(-\infty; 4]$ функция монотонно убывает. Следовательно, на луче $(-\infty; 0]$ наибольшее значение достигается в его крайней правой точке, то есть при $x=0$:

$y_{наиб} = y(0) = 3(0)^2 - 24(0) - 100 = -100$.

Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение -100, наименьшего значения не существует.

в) на луче [0; +?)

Вершина параболы $x_в = 4$ принадлежит лучу $[0; +\infty)$. Поскольку это точка глобального минимума функции, то наименьшее значение на данном луче будет достигаться в ней:

$y_{наим} = y(4) = -148$.

Так как ветви параболы направлены вверх, при $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшего значения не существует.

г) на R

На всей числовой прямой $R$ (от $-\infty$ до $+\infty$) функция, график которой — парабола с ветвями вверх, имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения, так как она не ограничена сверху.

Наименьшее значение функции достигается при $x=4$ и равно $y_{наим} = -148$.

Ответ: наименьшее значение -148, наибольшего значения не существует.

8.27. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $y = -2x^2 - 12x + 3$:

a) на отрезке $[-1; 3]$;

б) на луче $(-\infty; -4]$;

в) на луче $[-4; +\infty)$;

г) на $R$.

Заданная функция $y = -2x^2 - 12x + 3$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в своей вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса (координата $x$) вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a = -2$ и $b = -12$. $x_v = -\frac{-12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-12}{-4} = -3$.

Ордината (координата $y$) вершины, которая и является наибольшим значением функции на всей числовой оси, находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции: $y_v = y(-3) = -2(-3)^2 - 12(-3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21$.

Итак, вершина параболы находится в точке $(-3; 21)$.

Вершина параболы $x_v = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится левее этого отрезка, функция на отрезке $[-1; 3]$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка (в точке $x = -1$), а наименьшее — на правом конце (в точке $x = 3$).

Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб.} = y(-1) = -2(-1)^2 - 12(-1) + 3 = -2 + 12 + 3 = 13$.
Наименьшее значение: $y_{наим.} = y(3) = -2(3)^2 - 12(3) + 3 = -18 - 36 + 3 = -51$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $13$, а наименьшее равно $-51$.

Вершина параболы $x_v = -3$ не принадлежит лучу $(-\infty; -4]$. На этом луче, который целиком лежит левее вершины, функция монотонно возрастает. Следовательно, наибольшее значение на этом луче достигается в его крайней правой точке, то есть при $x = -4$.

$y_{наиб.} = y(-4) = -2(-4)^2 - 12(-4) + 3 = -2 \cdot 16 + 48 + 3 = -32 + 48 + 3 = 19$.

Так как при $x \to -\infty$ значение функции $y \to -\infty$, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $19$, наименьшего значения не существует.

Вершина параболы $x_v = -3$ принадлежит лучу $[-4; +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на этом луче будет достигаться в вершине.

$y_{наиб.} = y_v = y(-3) = 21$.

Так как при $x \to +\infty$ значение функции $y \to -\infty$, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $21$, наименьшего значения не существует.

Рассматривается вся числовая прямая $R$. Как было установлено, функция является параболой с ветвями, направленными вниз. Ее наибольшее значение достигается в вершине.

$y_{наиб.} = y_v = 21$ (при $x = -3$).

Поскольку ветви параболы уходят в минус бесконечность, наименьшего значения у функции на всей числовой прямой не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $21$, наименьшего значения не существует.

8.28. Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = \frac{2}{x^2 + 1};$

б) $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1};$

в) $y = \frac{2}{x^2 - 4x + 10};$

г) $y = \frac{2}{x^4 - 8x^2 + 17}.$

а) Дана функция $y = \frac{2}{x^2 + 1}$. Чтобы найти наибольшее значение дроби с постоянным положительным числителем, нужно найти наименьшее значение ее знаменателя. Рассмотрим знаменатель $Z(x) = x^2 + 1$. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 0^2 + 1 = 1$. Наибольшее значение функции $y$ в этом случае составит $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

б) Дана функция $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1}$. Чтобы найти ее наибольшее значение, найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^4 + 8x^2 + 1$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то слагаемые $x^4$ и $8x^2$ принимают свои наименьшие значения, равные нулю, одновременно при $x = 0$. Таким образом, наименьшее значение знаменателя достигается при $x=0$ и равно $Z_{min} = 0^4 + 8 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

в) Дана функция $y = \frac{2}{x^2 - 4x + 10}$. Для нахождения ее наибольшего значения найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^2 - 4x + 10$. Знаменатель является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в ее вершине. Для нахождения минимума выделим полный квадрат: $Z(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 10 = (x - 2)^2 + 6$. Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x = 2$. Таким образом, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 0 + 6 = 6$. Наибольшее значение функции $y$ составляет $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Дана функция $y = \frac{2}{x^4 - 8x^2 + 17}$. Для нахождения ее наибольшего значения найдем наименьшее значение знаменателя $Z(x) = x^4 - 8x^2 + 17$. Это биквадратное выражение. Произведем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. Выражение для знаменателя примет вид $Z(t) = t^2 - 8t + 17$. Найдем наименьшее значение этой квадратичной функции при $t \ge 0$. Выделим полный квадрат: $Z(t) = (t^2 - 8t + 16) - 16 + 17 = (t - 4)^2 + 1$. Наименьшее значение этого выражения равно 1 и достигается при $t = 4$. Это значение $t$ удовлетворяет условию $t \ge 0$. Вернемся к исходной переменной: $x^2 = t = 4$, что возможно при $x = \pm 2$. Итак, наименьшее значение знаменателя равно $Z_{min} = 1$. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ равно $y_{max} = \frac{2}{Z_{min}} = \frac{2}{1} = 2$.
Ответ: 2.

8.29. Используя результаты упражнения 8.25, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{4x - 4}{x^2 - 2x + 17}$;

в) $y = \frac{10x}{x^2 + 4}$;

г) $y = \frac{49(x - 2)}{x^2 - 4x + 53}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данных функций мы воспользуемся методом, основанным на неравенстве о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) или преобразованием выражения к виду, где оценка области значений становится очевидной. Общая идея состоит в том, чтобы свести каждую функцию к виду $y = f(t)$, где $t$ — некоторая замена, и затем найти экстремумы функции $f(t)$.

а) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любом $x$.

Если $x = 0$, то $y = 0$.

Если $x > 0$, разделим числитель и знаменатель дроби на $x$:

$y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$

По неравенству Коши для положительных чисел $x$ и $\frac{1}{x}$ имеем: $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.

Так как знаменатель $x + \frac{1}{x} \ge 2$, то значение дроби $y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}} \le \frac{2}{2} = 1$. Равенство достигается, когда $x = \frac{1}{x}$, то есть $x^2=1$, что при $x > 0$ дает $x=1$. Таким образом, наибольшее значение функции равно 1.

Если $x < 0$, сделаем замену $x = -t$, где $t > 0$. Функция примет вид:

$y = \frac{2(-t)}{(-t)^2 + 1} = -\frac{2t}{t^2 + 1}$

Поскольку для $t > 0$ мы уже установили, что $0 < \frac{2t}{t^2 + 1} \le 1$, то для $y$ получаем: $-1 \le y < 0$. Наименьшее значение, равное -1, достигается, когда $\frac{2t}{t^2 + 1}$ максимально, то есть равно 1. Это происходит при $t=1$, что соответствует $x=-1$.

Объединяя все случаи, получаем, что область значений функции — отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшее значение равно -1.

б) $y = \frac{4x - 4}{x^2 - 2x + 17}$

Сначала преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: $x^2 - 2x + 17 = (x^2 - 2x + 1) + 16 = (x - 1)^2 + 16$.

Числитель можно представить как $4x - 4 = 4(x - 1)$.

Тогда функция примет вид: $y = \frac{4(x - 1)}{(x - 1)^2 + 16}$.

Произведем замену переменной: пусть $t = x - 1$. Тогда функция станет $y = \frac{4t}{t^2 + 16}$.

Если $t > 0$, разделим числитель и знаменатель на $t$: $y = \frac{4}{t + \frac{16}{t}}$.

По неравенству Коши: $t + \frac{16}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{16}{t}} = 2\sqrt{16} = 8$.

Следовательно, $y \le \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Равенство достигается при $t = \frac{16}{t}$, то есть $t^2=16$, $t=4$. Возвращаясь к исходной переменной: $x-1=4 \implies x=5$. Наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$.

Если $t < 0$, пусть $t = -z$, где $z > 0$. Тогда $y = \frac{-4z}{z^2 + 16} = -(\frac{4z}{z^2 + 16})$. Так как $\frac{4z}{z^2 + 16} \le \frac{1}{2}$, то $y \ge -\frac{1}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{1}{2}$ достигается при $z=4$, т.е. $t=-4$, что дает $x-1=-4 \implies x=-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.

в) $y = \frac{10x}{x^2 + 4}$

Знаменатель $x^2+4$ всегда положителен. При $x=0$, $y=0$.

Если $x > 0$, разделим числитель и знаменатель на $x$: $y = \frac{10}{x + \frac{4}{x}}$.

По неравенству Коши: $x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$.

Отсюда $y \le \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Равенство достигается при $x = \frac{4}{x}$, то есть $x^2=4$, $x=2$. Наибольшее значение равно $\frac{5}{2}$.

Если $x < 0$, замена $x = -t$ ($t>0$) дает $y = -\frac{10t}{t^2 + 4}$. Так как $\frac{10t}{t^2 + 4} \le \frac{5}{2}$, то $y \ge -\frac{5}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{5}{2}$ достигается при $t=2$, то есть $x=-2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{5}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{5}{2}$.

г) $y = \frac{49(x - 2)}{x^2 - 4x + 53}$

Преобразуем знаменатель: $x^2 - 4x + 53 = (x^2 - 4x + 4) + 49 = (x - 2)^2 + 49$.

Функция имеет вид: $y = \frac{49(x - 2)}{(x - 2)^2 + 49}$.

Сделаем замену $t = x - 2$. Получим $y = \frac{49t}{t^2 + 49}$.

Если $t > 0$, $y = \frac{49}{t + \frac{49}{t}}$.

По неравенству Коши: $t + \frac{49}{t} \ge 2\sqrt{t \cdot \frac{49}{t}} = 2\sqrt{49} = 14$.

Следовательно, $y \le \frac{49}{14} = \frac{7}{2}$. Равенство достигается при $t=\frac{49}{t}$, $t^2=49$, $t=7$. Это соответствует $x-2=7 \implies x=9$. Наибольшее значение равно $\frac{7}{2}$.

Если $t < 0$, замена $t = -z$ ($z>0$) дает $y = -\frac{49z}{z^2+49}$. Так как $\frac{49z}{z^2+49} \le \frac{7}{2}$, то $y \ge -\frac{7}{2}$. Наименьшее значение $-\frac{7}{2}$ достигается при $z=7$, т.е. $t=-7$, что дает $x-2=-7 \implies x=-5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{7}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{7}{2}$.

8.30. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = |x| + |x - 2|;$

б) $y = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5|;$

в) $y = |x| + |x - 2| + |x - 4|;$

г) $y = |x| + |x - 1| + \ldots + |x - n|, n \in N.$

а) Функция $y = |x| + |x - 2|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $0$ и $2$. Эта сумма достигает своего наименьшего значения, когда точка $x$ находится между точками $0$ и $2$, то есть при $x \in [0, 2]$. На этом отрезке значение функции постоянно и равно расстоянию между точками $0$ и $2$, то есть $|2-0|=2$. Например, если раскрыть модули для $x \in [0, 2]$, получим $y = x - (x-2) = x - x + 2 = 2$.
Ответ: 2

б) Функция $y = |x - 1| + |x - 3| + |x - 5|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $1, 3, 5$. Так как количество точек нечетное (равно 3), наименьшее значение достигается, когда $x$ совпадает с медианой — средней точкой $3$. Подставим $x=3$ в функцию: $y(3) = |3 - 1| + |3 - 3| + |3 - 5| = |2| + |0| + |-2| = 2 + 0 + 2 = 4$.
Ответ: 4

в) Функция $y = |x| + |x - 2| + |x - 4|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $0, 2, 4$. Количество точек нечетное (равно 3), поэтому наименьшее значение достигается в медианной точке $x=2$. Подставим $x=2$ в функцию: $y(2) = |2| + |2 - 2| + |2 - 4| = 2 + 0 + |-2| = 2 + 0 + 2 = 4$.
Ответ: 4

г) Функция $y = |x| + |x - 1| + \dots + |x - n|$ является суммой расстояний от точки $x$ до $n+1$ точки: $0, 1, \dots, n$. Наименьшее значение функции достигается в медиане этого набора точек. Решение зависит от четности $n$.
Случай 1: $n$ — четное.
Пусть $n=2m$, где $m \in \mathbb{N}$. Количество точек $n+1=2m+1$ нечетное. Минимум достигается в медиане, которая является средней точкой $x=m=n/2$. Значение функции в этой точке:
$y_{min} = \sum_{k=0}^{2m} |m-k| = (|m-0| + \dots + |m-(m-1)|) + |m-m| + (|m-(m+1)| + \dots + |m-2m|)$
$y_{min} = (m + (m-1) + \dots + 1) + 0 + (1 + 2 + \dots + m) = 2 \sum_{k=1}^{m} k = 2 \cdot \frac{m(m+1)}{2} = m(m+1)$.
Подставляя $m=n/2$, получаем $y_{min} = \frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{n(n+2)}{4}$.
Случай 2: $n$ — нечетное.
Пусть $n=2m-1$, где $m \in \mathbb{N}$. Количество точек $n+1=2m$ четное. Минимум достигается для любого $x$ из отрезка между двумя центральными точками $[m-1, m]$. Значение функции на этом отрезке постоянно. Вычислим его при $x=m-1$:
$y_{min} = \sum_{k=0}^{2m-1} |(m-1)-k| = \sum_{j=0}^{m-1} j + \sum_{j=1}^{m} j = \frac{(m-1)m}{2} + \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m^2-m+m^2+m}{2} = m^2$.
Подставляя $m=(n+1)/2$, получаем $y_{min} = \left(\frac{n+1}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)^2}{4}$.
Ответ: если $n$ — четное, наименьшее значение равно $\frac{n(n+2)}{4}$; если $n$ — нечетное, наименьшее значение равно $\frac{(n+1)^2}{4}$.

8.31. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

для каждого значения параметра a:

а) $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1];

б) $y = -x^2 + 4x - a$ на отрезке $[-1; 3].

а)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Вершина параболы $x_v = -2$ не попадает в отрезок $[-1; 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка, то на всем отрезке $[-1; 1]$ функция является монотонно возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция достигает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим эти значения:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5a = 1 - 4 + 5a = 5a - 3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^2 + 4(1) + 5a = 1 + 4 + 5a = 5a + 5$.

Ответ: наименьшее значение $5a - 3$, наибольшее значение $5a + 5$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4x - a$ на отрезке $[-1; 3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Вершина параболы $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, в точке вершины функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - a = -4 + 8 - a = 4 - a$.

Наименьшее значение функция достигает на одном из концов отрезка. Найдем значения функции на концах отрезка $[-1; 3]$ и сравним их.

$y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - a = -1 - 4 - a = -5 - a$.

$y(3) = -(3)^2 + 4(3) - a = -9 + 12 - a = 3 - a$.

Сравним значения $y(-1)$ и $y(3)$. Так как $-5 < 3$, то $-5 - a < 3 - a$ при любом значении параметра $a$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $y(-1)$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = -5 - a$.

Ответ: наименьшее значение $-5 - a$, наибольшее значение $4 - a$.

8.32. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра a:

a) $y = x^2 - 4x$ на отрезке $[-1; a];$

б) $y = -x^2 + 2x - 3$ на отрезке $[a; 3].$

а) $y = x^2 - 4x$ на отрезке $[-1; a]$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины: $y_в = y(2) = 2^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина находится в точке $(2, -4)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

Отрезок $[-1; a]$ задан, следовательно, $a \ge -1$. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

Наименьшее значение ($y_{наим}$):
1. Если вершина $x_в = 2$ попадает в отрезок $[-1; a]$, то есть при $a \ge 2$, то наименьшее значение функция принимает в вершине: $y_{наим} = y(2) = -4$.
2. Если вершина $x_в = 2$ не попадает в отрезок $[-1; a]$, то есть при $-1 \le a < 2$, то на этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце отрезка: $y_{наим} = y(a) = a^2 - 4a$.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$):
Наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка, то есть $y_{наиб} = \max(y(-1), y(a))$.
Вычислим значение в левой точке: $y(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5$.
Значение в правой точке: $y(a) = a^2 - 4a$.
Сравним $y(-1)$ и $y(a)$. Наибольшее значение будет в той точке, которая дальше от абсциссы вершины $x_в = 2$.
1. Если $|a - 2| \le | -1 - 2|$, то есть $|a - 2| \le 3$, что равносильно $-3 \le a - 2 \le 3$, или $-1 \le a \le 5$. В этом случае $y_{наиб} = y(-1) = 5$.
2. Если $|a - 2| > 3$, что, с учетом $a \ge -1$, означает $a > 5$. В этом случае $y_{наиб} = y(a) = a^2 - 4a$.

Объединим результаты:
- При $-1 \le a < 2$: $y_{наим} = a^2 - 4a$, $y_{наиб} = 5$.
- При $2 \le a \le 5$: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 5$.
- При $a > 5$: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = a^2 - 4a$.

Ответ: если $-1 \le a < 2$, то $y_{наим} = a^2 - 4a$, $y_{наиб} = 5$; если $2 \le a \le 5$, то $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 5$; если $a > 5$, то $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = a^2 - 4a$.

б) $y = -x^2 + 2x - 3$ на отрезке $[a; 3]$

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
Ордината вершины: $y_в = y(1) = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Вершина находится в точке $(1, -2)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

Отрезок $[a; 3]$ задан, следовательно, $a \le 3$. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

Наибольшее значение ($y_{наиб}$):
1. Если вершина $x_в = 1$ попадает в отрезок $[a; 3]$, то есть при $a \le 1$, то наибольшее значение функция принимает в вершине: $y_{наиб} = y(1) = -2$.
2. Если вершина $x_в = 1$ не попадает в отрезок $[a; 3]$, то есть при $1 < a \le 3$, то на этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка: $y_{наиб} = y(a) = -a^2 + 2a - 3$.

Наименьшее значение ($y_{наим}$):
Наименьшее значение достигается на одном из концов отрезка, то есть $y_{наим} = \min(y(a), y(3))$.
Вычислим значение в правой точке: $y(3) = -(3)^2 + 2(3) - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$.
Значение в левой точке: $y(a) = -a^2 + 2a - 3$.
Сравним $y(a)$ и $y(3)$. Наименьшее значение будет в той точке, которая дальше от абсциссы вершины $x_в = 1$.
1. Если $|a - 1| \le |3 - 1|$, то есть $|a - 1| \le 2$, что равносильно $-2 \le a - 1 \le 2$, или $-1 \le a \le 3$. В этом случае $y_{наим} = y(3) = -6$.
2. Если $|a - 1| > 2$, что, с учетом $a \le 3$, означает $a < -1$. В этом случае $y_{наим} = y(a) = -a^2 + 2a - 3$.

Объединим результаты:
- При $a < -1$: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -a^2 + 2a - 3$.
- При $-1 \le a \le 1$: $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -6$.
- При $1 < a \le 3$: $y_{наиб} = -a^2 + 2a - 3$, $y_{наим} = -6$.

Ответ: если $a < -1$, то $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -a^2 + 2a - 3$; если $-1 \le a \le 1$, то $y_{наиб} = -2$, $y_{наим} = -6$; если $1 < a \le 3$, то $y_{наиб} = -a^2 + 2a - 3$, $y_{наим} = -6$.