Номер 8.31, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.31. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

для каждого значения параметра a:

а) $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1];

б) $y = -x^2 + 4x - a$ на отрезке $[-1; 3].

а)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4x + 5a$ на отрезке $[-1; 1]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Вершина параболы $x_v = -2$ не попадает в отрезок $[-1; 1]$. Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка, то на всем отрезке $[-1; 1]$ функция является монотонно возрастающей.

Следовательно, наименьшее значение функция достигает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим эти значения:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 5a = 1 - 4 + 5a = 5a - 3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^2 + 4(1) + 5a = 1 + 4 + 5a = 5a + 5$.

Ответ: наименьшее значение $5a - 3$, наибольшее значение $5a + 5$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4x - a$ на отрезке $[-1; 3]$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

Вершина параболы $x_v = 2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, в точке вершины функция достигает своего наибольшего значения.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = -(2)^2 + 4(2) - a = -4 + 8 - a = 4 - a$.

Наименьшее значение функция достигает на одном из концов отрезка. Найдем значения функции на концах отрезка $[-1; 3]$ и сравним их.

$y(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) - a = -1 - 4 - a = -5 - a$.

$y(3) = -(3)^2 + 4(3) - a = -9 + 12 - a = 3 - a$.

Сравним значения $y(-1)$ и $y(3)$. Так как $-5 < 3$, то $-5 - a < 3 - a$ при любом значении параметра $a$. Следовательно, наименьшее значение функции равно $y(-1)$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = -5 - a$.

Ответ: наименьшее значение $-5 - a$, наибольшее значение $4 - a$.