Номер 8.38, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.38. Докажите, что функция $y = 2\sqrt{x^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - x^2}$ является и чётной, и нечётной. Придумайте ещё примеры аналогичных функций. Подумайте, какой общий вид функции, являющейся и чётной, и нечётной.

Докажите, что функция $y = 2\sqrt{x^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - x^2}$ является и чётной, и нечётной.

Чтобы исследовать функцию на чётность и нечётность, сначала найдём её область определения $D(y)$. Функция определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны:

$ \begin{cases} x^4 - 1 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} x^4 \ge 1 \\ x^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} |x| \ge 1 \\ |x| \le 1 \end{cases} $

Единственные значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, это те, для которых $|x| = 1$. Таким образом, область определения функции состоит всего из двух точек: $D(y) = \{-1, 1\}$.

Область определения $D(y)$ симметрична относительно начала координат (если $x=1 \in D(y)$, то и $-x=-1 \in D(y)$), что является необходимым условием для чётности или нечётности функции.

Теперь найдём значения функции в этих точках:

При $x=1$:
$y(1) = 2\sqrt{1^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - 1^2} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$.

При $x=-1$:
$y(-1) = 2\sqrt{(-1)^4 - 1} + \sqrt[4]{1 - (-1)^2} = 2\sqrt{1 - 1} + \sqrt[4]{1 - 1} = 2\sqrt{0} + \sqrt[4]{0} = 0$.

Теперь проверим выполнение определений чётной и нечётной функции для всех $x \in D(y)$.

1. Проверка на чётность: Функция является чётной, если $y(-x) = y(x)$.
Проверяем для $x=1$: $y(-1) = 0$ и $y(1) = 0$. Так как $y(-1) = y(1)$, функция является чётной.

2. Проверка на нечётность: Функция является нечётной, если $y(-x) = -y(x)$.
Проверяем для $x=1$: $y(-1) = 0$ и $-y(1) = -0 = 0$. Так как $y(-1) = -y(1)$, функция является нечётной.

Поскольку оба условия выполняются для всех точек из области определения, данная функция является одновременно и чётной, и нечётной.

Ответ: Функция определена только для $x=-1$ и $x=1$, где её значения равны нулю. Для этой функции выполняются оба условия: $y(-1) = y(1) = 0$ (чётность) и $y(-1) = -y(1) = 0$ (нечётность), следовательно, она является и чётной, и нечётной.

Придумайте ещё примеры аналогичных функций.

Основная идея таких функций заключается в том, что их область определения является симметричным относительно нуля множеством, и на всей этой области определения функция тождественно равна нулю. Вот несколько примеров, построенных по этому принципу:

1. $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2}$.
Область определения находится из системы: $ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \implies |x| \ge 2 \\ 4 - x^2 \ge 0 \implies |x| \le 2 \end{cases} $
Решением является $|x|=2$, то есть $D(y) = \{-2, 2\}$. На этой области $y(-2) = y(2) = 0$. Функция является и чётной, и нечётной.

2. $y = \sqrt{|x|-a} + \sqrt[4]{a-|x|}$ (где $a > 0$ - любое положительное число).
Область определения: $|x|=a$, то есть $D(y) = \{-a, a\}$. На этой области $y(-a) = y(a) = 0$. Функция является и чётной, и нечётной.

3. $y = \sqrt{\sin^2(\pi x) - 1}$.
Область определения: $\sin^2(\pi x) - 1 \ge 0 \implies \sin^2(\pi x) \ge 1$. Так как $\sin^2(\pi x) \le 1$, единственное возможное решение - это $\sin^2(\pi x) = 1$. Это означает, что $\sin(\pi x) = \pm 1$, то есть $\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. Следовательно, $x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения $D(y) = \{\dots, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, \dots\}$ является симметричным множеством. Для всех $x$ из $D(y)$ значение функции $y(x) = \sqrt{1-1} = 0$. Следовательно, эта функция также является и чётной, и нечётной.

Ответ: Примеры функций, являющихся одновременно чётными и нечётными: $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{4 - x^2}$; $y = \sqrt{|x|-a} + \sqrt[4]{a-|x|}$ (при $a>0$); $y = \sqrt{\sin^2(\pi x) - 1}$.

Подумайте, какой общий вид функции, являющейся и чётной, и нечётной.

Пусть функция $y = f(x)$ является одновременно и чётной, и нечётной.

Это означает, что её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля, и для любого $x \in D(f)$ должны выполняться два равенства:

1. $f(-x) = f(x)$ (свойство чётной функции)
2. $f(-x) = -f(x)$ (свойство нечётной функции)

Приравнивая правые части этих равенств, получаем: $f(x) = -f(x)$

Перенесём все члены в одну сторону: $f(x) + f(x) = 0$

$2f(x) = 0$

$f(x) = 0$

Это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции $D(f)$.

Таким образом, любая функция, которая является одновременно и чётной, и нечётной, — это функция, тождественно равная нулю ($f(x)=0$) на всей своей области определения, причём эта область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Ответ: Единственная функция, которая является одновременно и чётной, и нечётной, — это функция $y = 0$, заданная на симметричной относительно нуля области определения.