Номер 8.35, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8.35. Опираясь на теорему из упражнения 8.34, решите уравнение:

а) $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$;

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 5} = 1 + 2x - x^2$;

в) $\sqrt{x^{22} + 64} = 8 - x^{12} - x^{14}$;

г) $\sqrt{-x^2 - 4x - 1} = x^2 + 4x + 7$.

а) $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$

Рассмотрим левую и правую части уравнения.Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^{100} + 49}$. Поскольку $x^{100} \ge 0$ для любого действительного $x$, наименьшее значение подкоренного выражения $x^{100} + 49$ достигается при $x=0$ и равно $0+49=49$. Следовательно, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{49} = 7$. Таким образом, $\sqrt{x^{100} + 49} \ge 7$.

Правая часть: $g(x) = 7 - x^4$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, наибольшее значение правой части достигается при $x=0$ и равно $7-0=7$. Таким образом, $7 - x^4 \le 7$.

Уравнение $\sqrt{x^{100} + 49} = 7 - x^4$ может иметь решение только в том случае, если обе его части равны 7. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^{100} + 49} = 7 \\ 7 - x^4 = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения находим: $x^4 = 0$, откуда $x = 0$.

Подставим $x=0$ в первое уравнение для проверки: $\sqrt{0^{100} + 49} = \sqrt{49} = 7$. Равенство выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением уравнения.

Ответ: 0

б) $\sqrt{x^2 - 2x + 5} = 1 + 2x - x^2$

Преобразуем левую и правую части уравнения, выделив полные квадраты.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5} = \sqrt{(x^2 - 2x + 1) + 4} = \sqrt{(x-1)^2 + 4}$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, наименьшее значение подкоренного выражения равно 4 (при $x=1$). Следовательно, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{4} = 2$. Таким образом, $\sqrt{x^2 - 2x + 5} \ge 2$.

Правая часть: $g(x) = 1 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 1) = -(x^2 - 2x + 1 - 2) = -((x-1)^2 - 2) = 2 - (x-1)^2$. Так как $(x-1)^2 \ge 0$, наибольшее значение правой части равно 2 (при $x=1$). Таким образом, $1 + 2x - x^2 \le 2$.

Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только тогда, когда обе части уравнения равны 2, что достигается одновременно при $x=1$.

Проверим: при $x=1$ левая часть равна $\sqrt{(1-1)^2 + 4} = 2$, правая часть равна $2 - (1-1)^2 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит $x=1$ является решением.

Ответ: 1

в) $\sqrt{x^{22} + 64} = 8 - x^{12} - x^{14}$

Оценим значения левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x^{22} + 64}$. Поскольку $x^{22} \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение подкоренного выражения достигается при $x=0$ и равно $0+64=64$. Значит, наименьшее значение левой части равно $\sqrt{64} = 8$. Таким образом, $\sqrt{x^{22} + 64} \ge 8$.

Правая часть: $g(x) = 8 - x^{12} - x^{14}$. Поскольку $x^{12} \ge 0$ и $x^{14} \ge 0$, то $x^{12} + x^{14} \ge 0$, и равенство достигается только при $x=0$. Следовательно, наибольшее значение правой части $8 - (x^{12} + x^{14})$ равно 8 и достигается только при $x=0$. Таким образом, $8 - x^{12} - x^{14} \le 8$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в случае, если обе части равны 8. Это происходит при $x=0$.

Проверим: при $x=0$ левая часть равна $\sqrt{0^{22} + 64} = \sqrt{64} = 8$, правая часть равна $8 - 0^{12} - 0^{14} = 8$. Равенство $8=8$ верное.

Ответ: 0

г) $\sqrt{-x^2 - 4x - 1} = x^2 + 4x + 7$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-x^2 - 4x - 1 \ge 0$, или $x^2 + 4x + 1 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$ равны $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2-\sqrt{3}, -2+\sqrt{3}]$.

Теперь оценим значения левой и правой частей. Преобразуем выражения, выделив полные квадраты.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{-x^2 - 4x - 1} = \sqrt{-(x^2 + 4x + 1)} = \sqrt{-( (x^2+4x+4) - 3 )} = \sqrt{3 - (x+2)^2}$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, то $3 - (x+2)^2 \le 3$. Следовательно, максимальное значение левой части равно $\sqrt{3}$. Таким образом, $f(x) \le \sqrt{3}$.

Правая часть: $g(x) = x^2 + 4x + 7 = (x^2 + 4x + 4) + 3 = (x+2)^2 + 3$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, минимальное значение правой части равно 3. Таким образом, $g(x) \ge 3$.

Мы получили, что для любого $x$ из ОДЗ левая часть уравнения не превосходит $\sqrt{3}$, а правая часть не меньше 3. Так как $\sqrt{3} < 3$, то левая часть уравнения всегда строго меньше правой части. Равенство между ними невозможно.

Ответ: корней нет